Question

6．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1，PA⊥平面ABCD，異面直線AC與PB所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$，M為PB的中點(diǎn)，G為△AMC的重心．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）求DG與平面AMC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)已知條件，利用線段的值求出AC²+BC²=AB²，進(jìn)一步利用線面垂直的性質(zhì)定理，求出線線垂直，進(jìn)一步得到線面垂直．
（2）利用異面直線夾角求出PA=1，進(jìn)一步建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量，求出線面的夾角的余弦值．

解答 證明：（1）已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1，
利用勾股定理解得：BC=AC=$\sqrt{2}$，
所以：AC²+BC²=AB²
所以：AC⊥BC，
又PA⊥平面ABCD，
所以：PA⊥BC，
所以：BC⊥平面PAC．
（2）過點(diǎn)B作BE∥AC，交CD的延長線于點(diǎn)E，連接PE，設(shè)PA=x，
異面直線AC與PB所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
即：PB與BE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
所以解得：$BE=\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{10}$，$PB=\sqrt{{x}^{2}+4}$，$PE=\sqrt{{x}^{2}+10}$，
在△PBE中，COS∠PBE=$\frac{{PB}^{2}+{BE}^{2}-{PE}^{2}}{2•PB•BE}$，
解得：x=1，
即：PA=1．
建立空間直角坐標(biāo)系：A-xyz，M為PB的中點(diǎn)，G為△AMC的重心．
則：A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，2，0），D（1，0，0），C（1，1，0），
M（0，1，$\frac{1}{2}$），G（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{6}$），
則：$\overrightarrow{AM}=（0，1，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{AC}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{DG}=（-\frac{2}{3}，\frac{2}{3}，\frac{1}{6}）$．
設(shè)平面AMC的法向量為：$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
則：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}=0\\ \overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=0\end{array}\right.$，
解得：$\overrightarrow{n}=（-1，1，-2）$．
設(shè)DG與平面AMC所成角為θ，sinθ=$cos＜\overrightarrow{DG}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{DG}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{DG}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{\sqrt{33}}{99}$
即：DG與平面AMC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{33}}{99}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：線面垂直的判定定理，異面直線的夾角的應(yīng)用，空間直角坐標(biāo)系，法向量，向量的數(shù)量積，線面的夾角的應(yīng)用．及相關(guān)的運(yùn)算問題．