Question

已知橢圓的離心率為，直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂

直于點(diǎn)，線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；

（3）當(dāng)P不在軸上時(shí)，在曲線上是否存在兩個(gè)不同點(diǎn)C、D關(guān)于對(duì)稱，若存在，

求出的斜率范圍，若不存在，說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）  ；（Ⅱ）；

（3）在曲線上不存在兩個(gè)不同點(diǎn)C、D關(guān)于對(duì)稱

【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)和直線與圓相切得到橢圓的方程。

（2）∵M(jìn)P=MF₂，

∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)F₁（1，0）的距離，

∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是C為l₁準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線可知結(jié)論。

（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用對(duì)稱性來(lái)分析證明不存在符合題意的結(jié)論。

解：（Ⅰ）∵  

∵直線相切，

∴   ∴ 

∵橢圓C₁的方程是     

（Ⅱ）∵M(jìn)P=MF₂，

∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)F₁（1，0）的距離，

∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是C為l₁準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線  ………………6分

∴點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為    …………7分

（3）顯然不與軸垂直，設(shè) (,)， (,)，且≠，則 =．

若存在C、D關(guān)于對(duì)稱，則=-    ∵≠0，∴≠0

設(shè)線段的中點(diǎn)為,則=(+)=,=，

將代入方程求得：=-( -)=(-)

∵-=-≠1∴ ≠()= ∴線段的中點(diǎn)不在直線上．所以在曲線上不存在兩個(gè)不同點(diǎn)C、D關(guān)于對(duì)稱