【題目】
已知函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,a∈R.
(Ⅰ)曲線y=f(x)在x=0處的切線的斜率為3,求a的值;
(Ⅱ)若對(duì)于任意x∈(0,+∞),f(x)+f(-x)≥12lnx恒成立,求a的取值范圍;
(Ⅲ)若a>1,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值、最小值分別為M(a)、m(a),
記h(a)=M(a)-m(a),求h(a)的最小值.
【答案】(1)(2)(-∞,-1-](3)
【解析】試題分析:(1)求出,由可得結(jié)果;(2)對(duì)于任意恒成立等價(jià)于,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求得,從而可得結(jié)果;(3)分三種情況討論:①當(dāng),②當(dāng),③當(dāng)分別求出的最小值,再比較大小即可得結(jié)果.
試題解析:(1)因?yàn)?/span>f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,所以f ′(x)=6x2-6(a+1)x+6a,
所以曲線y=f(x)在x=0處的切線斜率k=f ′(0)=6a,
所以6a=3,所以a=.
(2)f(x)+f(-x)=-6(a+1)x2≥12lnx對(duì)任意x∈(0,+∞)恒成立,
所以-(a+1)≥.
令g(x)=,x>0,則g(x)=.
令g(x)=0,解得x=.
當(dāng)x∈(0,)時(shí),g(x)>0,所以g(x)在(0,)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(,+∞)時(shí),g(x)<0,所以g(x)在(,+∞)上單調(diào)遞減.
所以g(x)max=g()=,
所以-(a+1)≥,即a≤-1-,
所以a的取值范圍為(-∞,-1-].
(3)因?yàn)?/span>f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,
所以f ′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a),f(1)=3a-1,f(2)=4.
令f ′(x)=0,則x=1或a.
f(1)=3a-1,f(2)=4.
①當(dāng)1<a≤時(shí),
當(dāng)x∈(1,a)時(shí),f (x)<0,所以f(x)在(1,a)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(a,2)時(shí),f (x)>0,所以f(x)在(a,2)上單調(diào)遞增.
又因?yàn)?/span>f(1)≤f(2),所以M(a)=f(2)=4,m(a)=f(a)=-a3+3a2,
所以h(a)=M(a)-m(a)=4-(-a3+3a2)=a3-3a2+4.
因?yàn)?/span>h (a)=3a2-6a=3a(a-2)<0,
所以h(a)在(1,]上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)a∈(1,]時(shí),h(a)最小值為h()=.
②當(dāng)<a<2時(shí),
當(dāng)x∈(1,a)時(shí),f (x)<0,所以f(x)在(1,a)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(a,2)時(shí),f (x)>0,所以f(x)在(a,2)上單調(diào)遞增.
又因?yàn)?/span>f(1)>f(2),所以M(a)=f(1)=3a-1,m(a)=f(a)=-a3+3a2,
所以h(a)=M(a)-m(a)=3a-1-(-a3+3a2)=a3-3a2+3a-1.
因?yàn)?/span>h (a)=3a2-6a+3=3(a-1)2≥0.
所以h(a)在(,2)上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)a∈(,2)時(shí),h(a)>h()=.
③當(dāng)a≥2時(shí),
當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f (x)<0,所以f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,
所以M(a)=f(1)=3a-1,m(a)=f(2)=4,
所以h(a)=M(a)-m(a)=3a-1-4=3a-5,
所以h(a)在[2,+∞)上的最小值為h(2)=1.
綜上,h(a)的最小值為.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及不等式恒成立問題,屬于難題.不等式恒成立問題常見方法:① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立(即可);② 數(shù)形結(jié)合( 圖象在 上方即可);③ 討論最值或恒成立;④ 討論參數(shù).
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)點(diǎn)是軸上的一個(gè)定點(diǎn),其橫坐標(biāo)為(),已知當(dāng)時(shí),動(dòng)圓過點(diǎn)且與直線相切,記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若直線與曲線相切于點(diǎn)(),且與以定點(diǎn)為圓心的動(dòng)圓也相切,當(dāng)動(dòng)圓的面積最小時(shí),證明: 、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為定值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題:
(1)函數(shù)f(x)在x>0時(shí)是增函數(shù),x<0時(shí)也是增函數(shù),所以f(x)是增函數(shù);
(2)若m=loga2,n=logb2且m>n,則a<b;
(3)函數(shù)f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在區(qū)間(﹣∞,4]上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤﹣3;
(4)y=log (x2+x﹣2)的減區(qū)間為(1,+∞).
其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在半徑為3m的 圓形(O為圓心)鋁皮上截取一塊矩形材料OABC,其中點(diǎn)B在圓弧上,點(diǎn)A、C在兩半徑上,現(xiàn)將此矩形鋁皮OABC卷成一個(gè)以AB為母線的圓柱形罐子的側(cè)面(不計(jì)剪裁和拼接損耗),設(shè)矩形的邊長(zhǎng)AB=xm,圓柱的體積為Vm3 .
(1)寫出體積V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出定義域;
(2)當(dāng)x為何值時(shí),才能使做出的圓柱形罐子體積V最大?最大體積是多少?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)a>0,求函數(shù)f(x)在[2a,4a]上的最小值;
(3)某同學(xué)發(fā)現(xiàn):總存在正實(shí)數(shù)a、b(a<b),使ab=ba , 試問:他的判斷是否正確?若不正確,請(qǐng)說明理由;若正確,請(qǐng)直接寫出a的取值范圍(不需要解答過程).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= g(x)= ,則函數(shù)f[g(x)]的所有零點(diǎn)之和是( )
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,g(x)=kx+1,若方程f(x)﹣g(x)=0有兩個(gè)不同實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù),
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若對(duì)任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)設(shè)關(guān)于x的方程f(4x﹣b)+f(﹣2x+1)=0有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知圓O外有一點(diǎn)P,作圓O的切線PM,M為切點(diǎn),過PM的中點(diǎn)N,作割線NAB,交圓于A、B兩點(diǎn),連接PA并延長(zhǎng),交圓O于點(diǎn)C,連續(xù)PB交圓O于點(diǎn)D,若MC=BC.
(1)求證:△APM∽△ABP;
(2)求證:四邊形PMCD是平行四邊形.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com