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【題目】如圖,在半徑為3m的 圓形(O為圓心)鋁皮上截取一塊矩形材料OABC,其中點B在圓弧上,點A、C在兩半徑上,現將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側面(不計剪裁和拼接損耗),設矩形的邊長AB=xm,圓柱的體積為Vm3
(1)寫出體積V關于x的函數關系式,并指出定義域;
(2)當x為何值時,才能使做出的圓柱形罐子體積V最大?最大體積是多少?

【答案】
(1)解:連接OB,在Rt△OAB中,∵AB=x,∴OA= ,

設圓柱底面半徑為r,則 =2πr,

即4π2r2=9﹣x2,

∴V=πr2x= ,其中0<x<3


(2)解:由V′= =0及0<x<3,得x= ,

列表如下:

x

(0,

,3)

V′

+

0

V

極大值

所以當x= 時,V有極大值,也是最大值為 .…(14分)

答:當x為 m時,做出的圓柱形罐子體積最大,最大體積是 m3


【解析】(1)連接OB,在Rt△OAB中,由AB=x,利用勾股定理可得OA= ,設圓柱底面半徑為r,則 =2πr,即可得出r.利用V=πr2x(其中0<x<30)即可得出.(2)利用導數V′,得出其單調性,即可得出結論.

練習冊系列答案
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(參考公式和計算結果:

, , ,

(1)1~6號舊井位置線性分布,借助前5組數據求得回歸直線方程為,求的值,并估計的預報值.

(2)現準備勘探新井,若通過1,3,5,7號并計算出的, 的值(, 精確到0.01)相比于(1)中的, ,值之差不超過10%,則使用位置最接近的已有舊井,否則在新位置打開,請判斷可否使用舊井?

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