Question

已知數列a_l，a₂…，a₃₀，其中a_l，a₂…，a₁₀是首項為1公差為1的等差數列；a_l0，a₁₁…，a₂₀是公差為d的等差數列；a₂₀，a₂₁…，a₃₀是公差為d²的等差數列(d>0)．(Ⅰ)若a₂₀=40，求 d；(Ⅱ)試寫出a₃₀關于d的關系式，并求a₃₀的取值范圍;(Ⅲ)請依次類推，續(xù)寫己知數列，把已知數列推廣為無窮數列．再提出同(2)類似的問題,并進行研究，你能得到什么樣的結論？

Answer 1

(Ⅰ) d=3   (Ⅱ) a₃₀∈[,+∞） （Ⅲ）(10, +∞)

解析:

(Ⅰ) a_l0=10,  a₂₀=10+10d=40,   ∴d=3            (2分)

(Ⅱ) a₃₀= a₂₀+10d=10(1+d+d²)  (d≠0)                 (4分)

a₃₀=10[(d+)²+],當d∈(-∞, 0)∪(0, +∞)時, a₃₀∈[,+∞].    (7分)

(Ⅲ) 續(xù)寫數列: 數列a₃₀，a₃₁,…，a₄₀是公差為d⁴的等差數列   (8分)

一般地,可推廣為:無窮數列{ a_n},其中a_l，a₂…，a₁₀是首項為1公差為1的等差數列,

當n≥1時, 數列a_10n，a_10n+1,…，a_10(n+1)是公差為dⁿ的等差數列.        (9分)

研究的問題可以是:試寫出a_10(n+1)關于d的關系式,并求a_10(n+1)的取值范圍   (11分)

研究的結論可以是: 由a₄₀= a₃₀+10d³=10(1+d+d²+ d³),

依次類推可得  a_10(n+1)= 10(1+d+d²+…+ dⁿ)=    10·(d≠1),

                                          10(n+1)    (d=1)

當d>0時, a_10(n+1)的取值范圍為(10, +∞)    (14分)