Question

在△ABC中，已知．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）求AB邊的長(zhǎng)；
（3）若，求△ABC的面積．

Answer 1

解：（1）∵
∴||•||cos（π-A）=||•||cos（π-B）
可得||cosA=||cosB，即bcosA=acosB
根據(jù)正弦定理，得sinBcosA=sinAcosB，
∴sin（A-B）=0，結(jié)合A-B∈（0，π）得A-B=0
因此A=B，得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形；
（2）過C作CD⊥AB于D
∵△ABC中，CA=CB，∴D為AB中點(diǎn)
由此可得=-||•||cosA=-1
即-||•||•=-1，得-||²=-1
∴||²=2，得||=，即AB邊的長(zhǎng)為；
（3）取BC中點(diǎn)E，連接AE
∵，，∴||=
設(shè)AC=BC=x，得（2AE）²+x²=2（x²+AB²）
即6+x²=2（x²+2），解得x=，可得△ABC是邊長(zhǎng)等于的等邊三角形，
∴△ABC的面積S=×（）²=．
分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積公式，化簡(jiǎn)已知等式可得||cosA=||cosB，結(jié)合正弦定理得sin（A-B）=0，從而得到A=B，得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形；
（2）過C作CD⊥AB于D，由直角三角形三角函數(shù)的定義，結(jié)合=-1化簡(jiǎn)可得-||²=-1，從而算出||=，得到AB邊的長(zhǎng)；
（3）取BC中點(diǎn)E，連接AE，可得中線AE的長(zhǎng)為，設(shè)AC=BC=x，利用三角形中線滿足的平方關(guān)系列式，得6+x²=2（x²+2），解得x=，得△ABC是邊長(zhǎng)等于的等邊三角形，從而得到△ABC的面積S=．
點(diǎn)評(píng)：本題給出等腰三角形滿足的向量關(guān)系式，求它的底邊之長(zhǎng)并在已知腰上中線長(zhǎng)的情況下求三角形的面積，著重考查了正、余弦定理解三角形和向量的數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．