Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（-1，

2

2

）在橢圓上，且

PF1

•

F1F2

=0，⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，并且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B：
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；    
（II）當(dāng)OA•OB=

2

3

時，求k的值．

Answer 1

分析：（I）由

PF1

•

F1F2

=0，知PF₁⊥F₁F₂，由點(diǎn)P（-1，

2

2

）在橢圓上，知c=1，

1

a2

+

1

2b2

=1，a²=b²+c²，由此能求出橢圓的方程．
（II）由直線l：y=kx+m與⊙O：x²+y²=1相切，解得m²=k²+1，由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，再由直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，能求出k的值．

解答：（本題滿分14分）
解：（I）∵

PF1

•

F1F2

=0，
∴PF₁⊥F₁F₂，
∵F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P（-1，

2

2

）在橢圓上，
∴c=1，

1

a2

+

1

2b2

=1，a²=b²+c²，
解得a²=2，b²=1，c²=1，
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
（II）∵直線l：y=kx+m與⊙O：x²+y²=1相切，
∴

|m|

k2+1

=1，解得m²=k²+1，
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，…（8分）
∵直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

m2-2k2

1+2k2

=

1-k2

1+2k2

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

1+k2

1+2k2

=

2

3

，
∴k=±1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．