Question

（2007•浦東新區(qū)二模）等差數(shù)列{a_n}中，前n項和為S_n，首項a₁=4，S₉=0．
（1）若a_n+S_n=-10，求n；
（2）設(shè)b_n=2^a_n，求使不等式b₁+b₂+…+b_n＞30的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由條件可得d=-1，代入a_n+S_n=-10，可得關(guān)于n的方程，解之可得；（2）由題意可得bn=25-n=

32

2n

，由等比數(shù)列的求和公式可得關(guān)于n的不等式，解之可得．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則S₉=9a₁+36d=0，解之可得：d=-1，
a_n=4-（n-1）=5-n----------（3分）
由a_n+S_n=-10，可得5-n+4n+

n(n-1)

2

×(-1)=-10，
化簡可得n²-7n-30=0，解之可得n=10-----------------------（6分）
（2）由題意可得bn=25-n=

32

2n

，b1+b2+…+bn =

16 [ 1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=32 [ 1-(

1

2

)n]，------（9分）
即32 [ 1-(

1

2

)n]＞30，解之可得n＞4，所以正整數(shù)n的最小值為5．---------------（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，涉及一元二次方程的求解，屬中檔題．