Question

已知函數(shù)在處取得極值.
(1)求實數(shù)的值；
(2)若關于的方程在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍；
(3)證明:對任意的正整數(shù),不等式都成立.

Answer 1

(1)  (2)   (3)先證

試題分析：(1)                      
時,取得極值,                  
故解得經檢驗符合題意.    
（2）由知 由,得 
令則在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根等價于在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根.     
當時,,于是在上單調遞增; 
當時,,于是在上單調遞減.   
依題意有,
解得,                  
(3) 的定義域為,由(1)知,
令得,或(舍去),  當時, ,單調遞增;
當時, ,單調遞減. 為在上的最大值.                      
,故(當且僅當時,等號成立)
對任意正整數(shù),取得,    
故.     
（方法二）數(shù)學歸納法證明：
當時，左邊，右邊，顯然，不等式成立.
假設時，成立，
則時，有.做差比較：
構建函數(shù)，則，
單調遞減，.
取，
即，亦即，
故時，有，不等式成立.，綜上可知，對任意的正整數(shù),不等式都成立. 
點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，注意函數(shù)與方程的綜合運用，以及會進行不
等式的證明．