Question

【題目】我們稱(chēng)n（）元有序?qū)崝?shù)組（，，…，）為n維向量，為該向量的范數(shù).已知n維向量，其中，，2，…，n.記范數(shù)為奇數(shù)的n維向量的個(gè)數(shù)為，這個(gè)向量的范數(shù)之和為.

（1）求和的值；

（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求，（用n表示）.

Answer 1

【答案】（1），.（2），

【解析】

（1）利用枚舉法將范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對(duì)都寫(xiě)出來(lái)，再做和；（2）用組合數(shù)表示和，再由公式或將組合數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得出最終結(jié)果.

解：（1）范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對(duì)有：，，，，

它們的范數(shù)依次為1，1，1，1，故，.

（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，在向量的n個(gè)坐標(biāo)中，要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)，所以可按照含0個(gè)數(shù)為：1，3，…，進(jìn)行討論：的n個(gè)坐標(biāo)中含1個(gè)0，其余坐標(biāo)為1或，共有個(gè)，每個(gè)的范數(shù)為；

的n個(gè)坐標(biāo)中含3個(gè)0，其余坐標(biāo)為1或，共有個(gè)，每個(gè)的范數(shù)為；

的n個(gè)坐標(biāo)中含個(gè)0，其余坐標(biāo)為1或，

共有個(gè)，每個(gè)的范數(shù)為1；所以

，

.

因?yàn)?/span>，①

，②

得，，

所以.

解法1：因?yàn)?/span>，

所以.

.

解法2：得，.

又因?yàn)?/span>，所以

.