已知函數(shù)
.
(Ⅰ)求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)
上是減函數(shù),求實數(shù)a的最小值;
(Ⅲ)若
,使
(
)成立,求實數(shù)a的取值范圍.
(Ⅰ)單調(diào)減區(qū)間是
,增區(qū)間是
.;(Ⅱ)
;(Ⅲ)
.
試題分析:(1)先求
,解不等式
并和定義域求交集,得
的單調(diào)遞增區(qū)間;解不等式
并和定義域求交集,得
的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)等價于
在
時恒成立,即
,故
,得實數(shù)a的取值范圍;(3)由特稱量詞的含義知,在區(qū)間
內(nèi)存在兩個獨立變量
,使得已知不等式成立,等價于
的最小值小于等于
的最大值,分別求兩個函數(shù)的最小值和最大值,建立實數(shù)
的不等式,進而求
的范圍.
試題解析:由已知函數(shù)
的定義域均為
,且
.
(Ⅰ)函數(shù)
,當(dāng)
且
時,
;當(dāng)
時,
.
所以函數(shù)
的單調(diào)減區(qū)間是
,增區(qū)間是
.
(Ⅱ)因f(x)在
上為減函數(shù),故
在
上恒成立.
所以當(dāng)
時,
.又
,故當(dāng)
,即
時,
.所以
于是
,故a的最小值為
.
(Ⅲ)命題“若
使
成立”等價于“當(dāng)
時,
有
”.
由(Ⅱ),當(dāng)
時,
,
. 問題等價于:“當(dāng)
時,有
”.
當(dāng)
時,由(Ⅱ),
在
上為減函數(shù),則
=
,故
.
當(dāng)0<
時,由于
在
上為增函數(shù),故
的值域為
,即
.由
的單調(diào)性和值域知,
唯一
,使
,且滿足:當(dāng)
時,
,
為減函數(shù);當(dāng)
時,
,
為增函數(shù);所以,
=
,
.所以,
,與
矛盾,不合題意.綜上,得
.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)函數(shù)
;
(Ⅰ)求證:函數(shù)
在
上單調(diào)遞增;
(Ⅱ)設(shè)
,若直線PQ∥x軸,求P,Q兩點間的最短距離.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
,設(shè)
(Ⅰ)求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間
(Ⅱ)若以函數(shù)
圖象上任意一點
為切點的切線的斜率
恒成立,求實數(shù)
的最小值
(Ⅲ)是否存在實數(shù)
,使得函數(shù)
的圖象與函數(shù)
的圖象恰有四個不同交點?若存在,求出實數(shù)
的取值范圍;若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
.
(1)設(shè)
(其中
是
的導(dǎo)函數(shù)),求
的最大值;
(2)求證: 當(dāng)
時,有
;
(3)設(shè)
,當(dāng)
時,不等式
恒成立,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
某商場預(yù)計2014年從1月起前
個月顧客對某種商品的需求總量
(單位:件)
(1)寫出第
個月的需求量
的表達式;
(2)若第
個月的銷售量
(單位:件),每件利潤
(單位:元),求該商場銷售該商品,預(yù)計第幾個月的月利潤達到最大值?月利潤的最大值是多少?(參考數(shù)據(jù):
)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
,
.
(Ⅰ)若曲線
在
與
處的切線相互平行,求
的值及切線斜率;
(Ⅱ)若函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞減,求
的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)
的圖像C
1與函數(shù)
的圖像C
2交于P、Q兩點,過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C
1、C
2于點M、N,證明:C
1在點M處的切線與C
2在點N處的切線不可能平行.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知a為給定的正實數(shù),m為實數(shù),函數(shù)f(x)=ax3-3(m+a)x2+12mx+1.
(Ⅰ)若f(x)在(0,3)上無極值點,求m的值;
(Ⅱ)若存在x0∈(0,3),使得f(x0)是f(x)在[0,3]上的最值,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
(
為自然對數(shù)的底數(shù)),
(
為常數(shù)),
是實數(shù)集
上的奇函數(shù).
(1)求證:
;
(2)討論關(guān)于
的方程:
的根的個數(shù);
(3)設(shè)
,證明:
(
為自然對數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知函數(shù)
在
上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為
,若
滿足:
,
,則下列判斷一定正確的是 ( )
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