Question

如圖，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1AF⊥BF，O為AB的中點(diǎn)，
矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直．
（1）求證：AF⊥平面CBF；
（2）設(shè)FC的中點(diǎn)為M，求證：OM∥平面DAF；
（3）求三棱錐C-BEF的體積．

Answer 1

解：（1）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB
∴CB⊥平面ABEF，∵AF?平面ABEF，
∴CB⊥AF
又AF⊥BF，且BF∩BC=B，BF，BC?平面CBF，
∴AF⊥平面CBF
（2）設(shè)DF的中點(diǎn)為N，
∵FC的中點(diǎn)為M，
∴MN∥CD，MN=CD
∵四邊形ABCD為矩形
∴AO∥CD，AO=CD
∴MN∥OA，MN=OA
∴四邊形MNAO為平行四邊形，
∴OM∥AN
又AN?平面DAF，OM?平面ADF，
∴OM∥平面ADF
（3）∵AF=1，AF⊥BF，AB=2
∴∠FAB=60°
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，則∠EBH=60°，
∴EH=，EF=AB-2HB=1，
故
∵CB⊥平面ABEF
∴三棱錐C-BEF的高為CB=1
∴
分析：（1）要證線(xiàn)與面垂直，需先證明直線(xiàn)AF垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，因?yàn)榫匦蜛BCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，所以BC垂直于平面ABEF，從而AF垂直于BC，依題意，AF垂直于BF，從而命題得證
（2）取DF的中點(diǎn)為N，由三角形中位線(xiàn)定理，MN平行CD且等于CD的一半，而OA也是如此，從而MN平行且等于OA，四邊形MNAO為平行四邊形，所以O(shè)M平行于A(yíng)N，由線(xiàn)面平行的判定定理即可得證OM平行于平面DAF
（3）先計(jì)算底面三角形BEF的面積，在等腰梯形ABEF中，可得此三角形的高為，底EF為1，再計(jì)算三棱錐C-BEF的高，即為CB，最后由三棱錐體積計(jì)算公式計(jì)算即可
點(diǎn)評(píng)：本題考查了線(xiàn)面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用，線(xiàn)面平行的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用，椎體體積計(jì)算公式及其計(jì)算方法