Question

已知函數(shù)f(x)=ax³+3x²-6ax-11,g(x)=3x²+6x+12和直線m:y=kx+9.又f′(-1)=0,

(1)求a的值;

(2)是否存在k的值,使直線m既是曲線y=f(x)的切線,又是y=g(x)的切線?如果存在,求出k的值;如果不存在,請說明理由.

(3)如果對于所有x≥-2的x,都有f(x)≤kx+9≤g(x)成立,求k的取值范圍.

Answer 1

解:(1)∵f′(x)=3ax²+6x-6a,

∴f′(-1)=0,即3a-6-6a=0.

∴a=-2.

(2)∵直線m恒過點(0,9),

先求直線m是y=g(x)的切線.

設切點為(x₀,3+6x₀+12),

∵g′(x₀)=6x₀+6,

∴切線方程為y-(3+6x₀+12)=(6x₀+6)(x-x₀).

將點(0,9)代入       得x₀=±1.

當x₀=-1時,切線方程為y=9;

當x₀=1時,切線方程為y=12x+9.

由f′(x)=0得-6x²+6x+12=0,

即有x=-1,x=2.

當x=-1時,y=f(x)的切線方程為y=-18;

當x=2時,y=f(x)的切線方程為y=9.

∴y=9是公切線.

又由f′(x)=12得-6x²+6x+12=12.

∴x=0或x=1.

當x=0時y=f(x)的切線方程為y=12x-11;

當x=1時y=f(x)的切線方程為y=12x-10.

∴y=12x+9不是公切線.

綜上所述,k=0時y=9是兩曲線的公切線.

(3)①kx+9≤g(x)得kx≤3x²+6x+3,

當x=0時,不等式恒成立,k∈R.

當-2≤x＜0時,不等式為k≥3(x+)+6,

而3(x+)+6=-3［(-x)+］+6≤-3·2+6=0,

∴k≥0.

當x＞0時,不等式為k≤3(x+)+6.

∵3(x+)+6≥12,∴k≤12.

∴當x≥-2時,kx+9≤g(x)恒成立,則0≤k≤12.

②由f(x)≤kx+9得kx+9≥-2x³+3x²+12x-11.

當x=0時,9≥-11恒成立,k∈R;

當-2≤x＜0時,有k≤-2x²+3x+12-.

設h(x)=-2x²+3x+12-=-2(x-)²+-,

當-2≤x＜0時,-2(x-)²+為增函數(shù),-也為增函數(shù),

∴h(x)≥h(-2)=8.

∴要使f(x)≤kx+9在-2≤x＜0上恒成立,則k≤8.

由上述過程只要考慮0≤k≤8,則當x＞0時,f′(x)=-6x²+16x+12=-6(x+1)(x-2).

∴在x∈(0,2］時,f′(x)＞0,

在x∈(2,+∞)時,f′(x)＜0.

∴f(x)在x=2時有極大值,即f(x)在(0,+∞)上的最大值.

又f(2)=9,即f(x)≤9,

而當x＞0,k≥0時,kx+9＞9,

∴f(x)≤kx+9一定成立.

綜上所述,0≤k≤8.