已知二次函數(shù)f(x)=ax3+bx(a,b為常數(shù),且a≠0)滿足條件:f(-x+5)=f(x-3)且方程f(x)=x有兩個相等實根.
(1)求f(x)的表達式;
(2)當(dāng)x∈[0,3)時,求函數(shù)f(x)的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù)m,n(m<n)使f(x)的定義域和值域分別是[m,n]和[3m,3n],如果存在,求出m,n的值;如果不存在,說明理由.
考點:二次函數(shù)的性質(zhì)
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)根據(jù)已知條件分別列出三個方程聯(lián)立求得a和b的值.
(2)首先把二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點式,然后根據(jù)距離對稱軸的遠近確定函數(shù)的值域.
(3)對n≤1,m≥1和m<1,n>1進行分類討論,根據(jù)二次函數(shù)的圖象找到函數(shù)的最大值和最小值表達式,聯(lián)立方程求得m和n
解答: 解:(1)∵f(-x+5)=f(x-3),
∴函數(shù)的對稱軸方程x=-
b
2a
=1,①,
∵方程f(x)=x有兩個相等實根.
∴對于f(x)-x=ax2+(b-1)x=0,△=(b-1)2=0,②
聯(lián)立①②求得a=-
1
2
  b=1
∴f(x)=-
1
2
x2+x
(2)f(x)=-
1
2
x2+x=-
1
2
(x-1)2+
1
2

當(dāng)x=1時,f(x)max=
1
2

當(dāng)x=3時,f(x)min=-
3
2

當(dāng)x∈[0,3)時,求函數(shù)f(x)的取值范圍:-
3
2
≤f(x)≤
1
2

(3)①當(dāng)n≤1時,f(x)在[m,n]單調(diào)遞減,
所以:
-
1
2
n2+n=3m
-
1
2
m2+m=3n
解得:m=n=-4(與m<n矛盾)或n=12,m=-20與n≤1矛盾故舍去.
②當(dāng)m≥1時,f(x)在[m,n]單調(diào)遞增,
所以
-
1
2
n2+n=3n
-
1
2
m2+m=3m
解得n=0或n=-4均不合題意故舍去
③同理:當(dāng)m<1,n>1時,由于對稱軸為:x=1,
所以3m=-
1
2
+1
解得:m=
1
6

令f(m)=-
1
2
×
1
36
+
1
6
=3n
解得n<1不合題意舍去.
令f(n)=-
1
2
n2+n=3n
解得:n=0或-4與n>1相矛盾故舍去
綜上所知:不存在m、n使f(x)的定義域和值域分別是[m,n]和[3m,3n].
點評:本題考查的知識要點:二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),二次函數(shù)的根的個數(shù)和系數(shù)的關(guān)系,及分類討論問題.
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1
5
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2
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x2
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y2
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(寫出所有正確的命題代號)
①函數(shù)y=x+
4
x
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②底面直徑和高都是2的圓柱側(cè)面積,等于內(nèi)切球的表面積;
③在抽樣過程中,三種抽樣方法抽取樣本時,每個個體被抽取的可能性不相等;
④F1,F(xiàn)2是橢圓
x2
4a2
+
y2
a2
=1(a>0)的兩個焦點,過F1點的弦AB,△ABF2的周長是4a;
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A、20
B、10
3
C、
10
6
3
D、5
3

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如果f(x+1)是奇函數(shù),則①-f(x+1)=f(-x+1),②-f(x+1)=f(-x-1),正確的是
 
.(填序號)

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