如圖,在長方形ABCD中,AB=
3
,BC=1,E為線段DC上一動點,現(xiàn)將△AED沿AE折起,使點D在面ABC上的射影K在直線AE上,當E從D運動到C,則K所形成軌跡的長度為( 。
A、
3
2
B、
2
3
3
C、
π
2
D、
π
3
考點:軌跡方程
專題:綜合題,空間位置關(guān)系與距離
分析:根據(jù)圖形的翻折過程中變與不變的量和位置關(guān)系知,若連接D'K,則D'KA=90°,得到K點的軌跡是以AD'為直徑的圓上一弧,根據(jù)長方形的邊長得到圓的半徑,求得此弧所對的圓心角的弧度數(shù),利用弧長公式求出軌跡長度.
解答: 解:由題意,將△AED沿AE折起,使平面AED⊥平面ABC,在平面AED內(nèi)過點D作DK⊥AE,K為垂足,由翻折的特征知,連接D'K,
則D'KA=90°,故K點的軌跡是以AD'為直徑的圓上一弧,根據(jù)長方形知圓半徑是
1
2

如圖當E與C重合時,AK=
1×1
4
=
1
2
,
取O為AD′的中點,得到△OAK是正三角形.
故∠K0A=
π
3
,∴∠K0D'=
3
,
其所對的弧長為
1
2
×
3
=
π
3
,
故選:D.
點評:本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題目,解題的關(guān)鍵是由題意得出點K的軌跡是圓上的一段弧,翻折問題中要注意位置關(guān)系與長度等數(shù)量的變與不變.本題是一個中檔題目.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,a2=1,其前n項和為Sn,則S3的取值范圍是( 。
A、(-∞,1]
B、(-∞,0)∪(1,+∞)
C、[3,+∞)
D、(-∞,-1]∪[3,+∞)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0),直線l過拋物線C的焦點,且與C的對稱軸垂直,l與C交于Q、R兩點,若S為C的準線上一點,△QRS的面積為8,則p=( 。
A、
2
B、2
C、2
2
D、4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知α為銳角,且tanα=
2
-1,函數(shù)f(x)=2xtan2α+sin(2α+
π
4
),數(shù)列{an}的首項a1=1,an+1=f(an).
(1)求函數(shù)f(x)的表達式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=a1,bn=log2(an+1),設(shè)Tn=
1
b1+n
+
1
b2+n
+…+
1
bn+n
,若Tn>m對x≥2恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=3x2+a,g(x)=2ax+1(a∈R)
(1)若函數(shù)f(x)在(0,2)上無零點,研究函數(shù)y=|g(x)|在(0,2)上的單調(diào)性;
(2)設(shè)F(x)=f(x)-g(x),若對任意的x∈[0,1],恒有|F(x)|<1成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知某幾何體的三視圖如下,根據(jù)圖中標出的尺寸(單位:cm),可得這個幾何體的體積是(  )
A、
1
2
 cm3
B、
1
3
 cm3
C、
1
6
 cm3
D、
1
12
 cm3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+4b2,a,b∈R,若a從集合{3,4,5}中任取一個元素,b從集合{1,2,3}中任取一個元素,代入f(x)中形成函數(shù).
(1)試列出所有的a與b的組合;
(2)求方程f(x)=0有兩個不相等實根的概率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點P是拋物線x2=4y上一個動點,過點作圓x2+(y-4)2=1的兩條切線,切點分別為M,N,則線段MN長度的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知sinα=
4
5
,α為第二象限的角,則tan2α=
 

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