Question

2．已知函數(shù)f（x）（x∈R，且x＞0），對于定義域內(nèi)任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），并且x＞1時，f（x）＞0恒成立．
（1）求f（1）；
（2）若x∈[1，+∞）時，不等式f（$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$）＞f（1）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）（1）令x=y=1，根據(jù)函數(shù)f（x）（x∈R，且x＞0），對于定義域內(nèi)任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），我們易構(gòu)造關(guān)于f（1）的方程，解方程即可求出求f（1）；   
（2）易將不等式f（$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$）＞f（1）轉(zhuǎn)化為a＞-x²-x在x∈[1，+∞）時恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，我們即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵定義域內(nèi)任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
∴f（1）=2f（1），
∴f（1）=0；
（2）任取0＜x₁＜x₂，則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，則題意得f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
又定義域內(nèi)任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（xy）-f（y）=f（x），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，由（1）和f（1）=0，
當x∈[1，+∞）時，不等式f（$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$）＞f（1）恒成立，
即$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$）＞1恒成立，
即x²+2x+a＞x，即a＞-x²-x在x∈[1，+∞）時恒成立，
∵-x²-x在x∈[1，+∞）時最大值為-2，
∴a＞-2．

點評 本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應用，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中（1）的關(guān)鍵是“湊配”思想的應用，（2）的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性對不等式f（$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$）＞f（1）進行變形，是一道中檔題．