Question

17．如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，交△ABC的外接圓于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AC交△DCE的外接圓于點(diǎn)F，DF=$\sqrt{14}$．
（Ⅰ）求BD；
（Ⅱ）若∠AEF=90°，AD=3，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明△ABD≌△AFD，即可求BD；
（Ⅱ）證明△AFE∽△FDE，可得$\frac{AE}{EF}=\frac{EF}{DE}$，建立方程，即可求DE的長(zhǎng)

解答 解：（Ⅰ）在△ABC的外接圓中，∠ABC=∠AEC，
△DCE的外接圓中，∠DEC=∠DFC，∴∠ABC=∠DFC，…（2分）
∵AD為∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠CAD，
∵AD=AD，∴△ABD≌△AFD，∴$BD=DF=\sqrt{14}$．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)DE=x，∠AEF=90°，$DF=\sqrt{14}$，$EF=\sqrt{14-{x^2}}$，…（6分）
由（Ⅰ）同理可得∠BAD=∠BCE，∠DCE=∠DFE，∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠DFE，∴△AFE∽△FDE，∴$\frac{AE}{EF}=\frac{EF}{DE}$，…（8分）
則$\frac{3+x}{{\sqrt{14-{x^2}}}}=\frac{{\sqrt{14-{x^2}}}}{x}$，
∴2x²+3x-14=0，∴x=2（$x=-\frac{7}{2}$不合題意，舍去），
∴DE=2．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查三角形全等的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．