Question

將各項均為正整數(shù)的數(shù)列{a_n}排成如圖所示的三角形數(shù)陣（第n行有n個數(shù)；在同一行中，各項的下標從左到右依次增大）．b_n表示該數(shù)陣中第n行第1個數(shù)．已知數(shù)列{b_n}為公比為q等比數(shù)列，a₁=1，a₃=a₂+1，且從第3行開始，從左到右，各行均構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列．
（Ⅰ）設(shè)q=2，d=1，試確定a₂₀₁₄是數(shù)陣的第幾行的第幾個數(shù)，并求a₂₀₁₄的值；
（Ⅱ）設(shè)q=2，d=1，試確定數(shù)列{a_k}（k∈N^*，k≤2014）中能被3整除的項的個數(shù)．
（Ⅲ）求證：數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列的充分必要條件是q≥2，d≥1且q³-q²＞2d（q，d∈N^*）．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,壓軸題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）由圖表得到每一行中數(shù)列的項的個數(shù)，由等差數(shù)列的求和公式得到a₂₀₁₄為數(shù)陣中第63行，第61列的數(shù)，最后由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式得答案；
（Ⅱ）由題意可知bn=2n-1=a

n(n-1)

2

+1，a

n(n-1)

2

+k=bn+k-1=2n-1+k-1．然后逐一分析第2n-1行中，第2n行中，第6n-5行中，第6n-4行中，第6n-3行中，第6n-2行中，第6n-1行中，第6n行中所有能被3整除的數(shù)的個數(shù)，則答案可求；
（Ⅲ）充分性，當q≥2，d≥1，q³-q²＞2d時，由數(shù)學歸納法證明數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增．
必要性，由{a_n}單調(diào)遞增．則d＞0，然后根據(jù)d為正整數(shù)，得到d≥1．再逐一分析前一行的最后一個數(shù)和后一行的第一個數(shù)的關(guān)系證明．

解答： （Ⅰ）解：由1+2+3+…+62=1953，
1+2+3+…+62+63=2016，2013-1953=60知，
a₂₀₁₄為數(shù)陣中第63行，第61列的數(shù)．
∵q=2，d=1，
∴a₂₀₁₄=2⁶²+60；
（Ⅱ）解：q=2，d=1，
bn=2n-1=a

n(n-1)

2

+1，
a

n(n-1)

2

+k=bn+k-1=2n-1+k-1．
由（Ⅰ）分析知，當

n(n-1)

2

+k≤2014時，n≤63．
第63行中能被3整除的項應滿足2^63-1+k-1=3m，1≤k≤61．
2^63-1=2⁶²=（3-1）⁶²=3⁶²+

C

1 62

•(-1)1•361+…+

C

61 62

•(-1)61•3+(-1)62．
被3除的余數(shù)為1．
∴2^63-1+3-1是第63行中第一個能被3 整除的數(shù)．
2^63-1+60-1是第63行中第20個能被3整除的數(shù)，也是第63行中小于2014的最后一個能被3整除的數(shù)．
同理，1≤n≤62時，
2n-1=(3-1)n-1=3n-1+

C

1 n-1

•3n-2•(-1)1+…+

C

n-2 n-1

•3•(-1)n-2+(-1)n-1．
被3除的余數(shù)為（-1）^n-1．
2^2n-1-1被3除的余數(shù)為（-1）^2n-1-1=1．
2^2n-1被3除的余數(shù)為（-1）^2n-1=-1．
這樣，第2n-1行中的第3個數(shù)2^2n-1-1+3-1是第一個能被3整除的數(shù)，
第2n行中的第二個數(shù)2^2n-1+2-1是第一個能被3整除的數(shù)．
在第6n-5行中第3個數(shù)2^6n-5-1+3-1是第1個能被3整除的數(shù)，
第6n-6個數(shù)2^6n-5-1+（6n-6）-1是第（2n-2）個能被3整除的數(shù)，也是最后一個能被3整除的數(shù)．
在第6n-4行中第2個數(shù)2^6n-4-1+2-1是第1個能被3整除的數(shù)，
第6n-4個數(shù)2^6n-4-1+（6n-4）-1是第（2n-1）個能被3整除的數(shù)，也是最后一個能被3整除的數(shù)．
在第6n-3行中第3個數(shù)2^6n-3-1+3-1是第1個能被3整除的數(shù)，
第6n-3個數(shù)2^6n-3-1+（6n-3）-1是第（2n-1）個能被3整除的數(shù)，也是最后一個能被3整除的數(shù)．
在第6n-2行中第2個數(shù)2^6n-2-1+2-1是第1個能被3整除的數(shù)，
第6n-4個數(shù)2^6n-2-1+（6n-4）-1是第（2n-1）個能被3整除的數(shù)，也是最后一個能被3整除的數(shù)．
在第6n-1行中第3個數(shù)2^6n-1-1+3-1是第1個能被3整除的數(shù)，
第6n-3個數(shù)2^6n-1+（6n-3）-1是第（2n-1）個能被3整除的數(shù)，也是最后一個能被3整除的數(shù)．
在第6n行中第2個數(shù)2^6n-1+2-1是第1個能被3整除的數(shù)，
第6n-1個數(shù)2^6n-1+（6n-1）-1是第2n個能被3整除的數(shù)，也是最后一個能被3整除的數(shù)．
這樣，在第6n-5，6n-4，…，6n-1，6n這6行中一共有6（2n-1）=12n-6=6+12（n-1）個能被3整除的數(shù)．
從第1行到第6n行一共有6n+6n（n-1）=6n²個能被3整除的數(shù)．
從第1行到第60行一共有6×10²=600個能被3整除的數(shù)．
第61行，即第6×11-5行中一共有2×11-2=20個能被3整除的數(shù)．
第62行，即第6×11-4行中一共有2×11-1=21個能被3整除的數(shù)．
于是，從第1行到底63行的a₂₀₁₄，能被3整除的數(shù)一共有600+20+21+20=661；
（Ⅲ）證明：a₁=1，a₃=a₂+1，
bn=a

(n-1)n

2

+1=qn-1．
第n行一共有n個數(shù)，其中第n行中的第k個數(shù)為：
a

(n-1)n

2

+k=a

(n-1)n

2

+1+(k-1)d+bn+(k-1)d=q^n-1+（k-1）d 1≤k≤n，n≥3．
要使的數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，則必須d＞0，這樣才能保證每一行中的數(shù)都是單調(diào)遞增的．
還必須q＞1，這樣才能保證b_n每一行的第1個數(shù)是單調(diào)遞增的．
除此以外，還必須保證第n行的最后一個數(shù)（第n個數(shù)）小于或等于第n+1行的第1個數(shù)．
也即，a

n(n-1)

2

+n=a

n(n+1)

2

=bn+(k-1)d=qn-1+(n-1)d≥bn+1=qn．
充分性
當q≥2，d≥1，q³-q²＞2d時，
前兩行a₁=1＜q=a₂＜q+1=a₃，
第3行a4=q2≥2q＞q+1=a3，a6=q2+2d．
第4行a7=q3＞q2+2d=a6．
下面有數(shù)學歸納法證明數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增．
設(shè)前k（k≥4）行中，都有{a_n}單調(diào)遞增，則第k-1行的最后一個數(shù)（第k-1行中的第k-1個數(shù)）
小于或等于第k行的第一個數(shù)，也即a

(k-1)(k-2)

2

+k-1=qk-2+(k-2)d＜bk=qk-1成立．
這樣，第k行的最后一個數(shù)為：a

k(k-1)

2

+k=qk-1+(k-1)d．
第k+1行的第1個數(shù)為：bk+1=qk=q•qk-1＞q[qk-2+(k-2)d]
=q^k-1+（k-2）qd＞q^k-1+2（k-2）d＞q^k-1+（k-2）d+d=q^k-1+（k-1）d等于第k行的最后一個數(shù)．
這樣，由歸納法證得當q≥2，d≥1，q³-q²＞2d時，{a_n}單調(diào)遞增．
必要性
若{a_n}單調(diào)遞增．則d＞0，
∵d為正整數(shù)，
∴d≥1．
前兩行a₁=1＜q=a₂＜q+1=a₃，
第3行a4=q2＞a3=q+1，0＜q2-q-1，q＞

1+( 1 2 )5

2

．
∵q為正整數(shù)，
∴q≥2．
第3行最后一個數(shù)為a6=q2+2d，
第4行a7=q3＞a6=q2+2d．
∴q³-q²＞2d．
這樣，若數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，則必有q≥2，d≥1且q³-q²＞2d．

點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查了歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，考查了充分必要條件的證明方法，訓練了學生的邏輯思維能力和綜合分析問題和解決問題的能力，解答此題要有很好的耐心，考查了學生的運算能力，是難度非常大的少見題目．