Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n-+1=2（1+

1

n

）²a_n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=（An²+Bn+C）•2ⁿ，試推斷是否存在常數(shù)A、B、C，使對于一切n∈N^*都有a_n=b_n+1-b_n成立？若存在，求出A，B，C的值；若不存在，說明理由．
（3）求：

n

n=1

a_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把已知的數(shù)列遞推式變形，得到數(shù)列{

an

n2

}是公比為2的等比數(shù)列，求其通項公式后得答案；
（2）求出b_n+1-b_n，由對于一切n∈N^*都有a_n=b_n+1-b_n成立比較系數(shù)求得A，B，C的值；
（3）直接利用a_n=b_n+1-b_n裂項相消求得

n

n=1

a_n．

解答： 解：（1）由a_n-+1=2（1+

1

n

）²a_n=

2(n+1)2

n2

an，得

an+1

(n+1)2

=2

an

n2

，
∴數(shù)列{

an

n2

}是公比為2的等比數(shù)列．
首項a₁=2，
∴

an

n2

=2n，即an=2n•n2；
（2）∵b_n=（An²+Bn+C）•2ⁿ，
∴b_n+1-b_n=[An²+（4A+B）n+2A+2B+C]•2ⁿ，
由對于一切n∈N^*都有a_n=b_n+1-b_n成立，得

A=1 4A+B=0 2A+2B+C=0

，解得A=1，B=-4，C=6；
（3）

n

n=1

a_n=（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+（b₄-b₃）+…+（b_n+1-b_n）
=bn+1-b1=(n2-2n+3)•2n+1-6．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了比較系數(shù)法求函數(shù)解析式，考查了裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．