Question

（2011•聊城一模）在2010年上海世博會(huì)期間，小紅計(jì)劃對(duì)事先選定的10個(gè)場(chǎng)館進(jìn)行參觀，在她選定的10個(gè)場(chǎng)館中，有4個(gè)場(chǎng)館分布在A片區(qū)，3個(gè)場(chǎng)館分布在B片區(qū)，3個(gè)場(chǎng)館分布在C片區(qū)．由于參觀的人很多，在進(jìn)入每個(gè)場(chǎng)館前都需要排隊(duì)等候，已知A片區(qū)的每個(gè)場(chǎng)館的排隊(duì)時(shí)間為2小時(shí)，B片區(qū)和C片區(qū)的每個(gè)場(chǎng)館的排隊(duì)時(shí)間都為1小時(shí)．參觀前小紅突然接到公司通知，要求她一天后務(wù)必返回，于是小紅決定從這10個(gè)場(chǎng)館中隨機(jī)選定3個(gè)場(chǎng)館進(jìn)行參觀．
（Ⅰ）求小紅每個(gè)片區(qū)都參觀1個(gè)場(chǎng)館的概率；
（Ⅱ）設(shè)小紅排隊(duì)時(shí)間總和為ξ（小時(shí)），求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先計(jì)算出10個(gè)場(chǎng)館中選三個(gè)的種數(shù)，再計(jì)算出每個(gè)片區(qū)先一個(gè)的種數(shù)，利用公式求概率即可；
（Ⅱ）ξ的取值可能是3，4，5，6，分別對(duì)應(yīng)沒有參見A區(qū)，參觀一個(gè)A區(qū)場(chǎng)館，參觀兩個(gè)A區(qū)場(chǎng)館，參觀三個(gè)A區(qū)場(chǎng)館，依次算出每個(gè)事件的概率，列出分布列求出期望即可

解答：解：（I）從10個(gè)場(chǎng)館中選三個(gè)，基本事件的總數(shù)為C₁₀³=120個(gè)
小紅每個(gè)場(chǎng)館都參觀一個(gè)的事件包含的基本事件數(shù)為4×3×3=36
故小紅每個(gè)片區(qū)都參觀1個(gè)場(chǎng)館的概率為

36

120

=

3

10

（Ⅱ）ξ的取值可能是3，4，5，6，分別對(duì)應(yīng)沒有參見A區(qū)，參觀一個(gè)A區(qū)場(chǎng)館，參觀兩個(gè)A區(qū)場(chǎng)館，參觀三個(gè)A區(qū)場(chǎng)館，
P（ξ=3）=

2 C 3 3 +2 C 2 3 × C 1 3

C 3 10

=

1

6

P（ξ=4）=

C 1 4 × C 2 6

C 3 10

=

4×15

120

=

1

2

P（ξ=5）=

C 2 4 × C 1 6

C 3 10

=

6×6

120

=

3

10

P（ξ=6）═

C 3 4

C 3 10

=

4

120

=

1

30

所以分布列為

ξ	3	4	5	6
P	1 6	1 2	3 10	1 30

Eξ=3×

1

6

+4×

1

2

+5×

3

10

+6×

1

30

=

21

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概率及其計(jì)算公式以及離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的求法公式，是概率中的典型題型．解答本題關(guān)鍵是進(jìn)行正確分類，對(duì)每一類的情況正確計(jì)算，另外牢記相關(guān)公式對(duì)正確解答本題也很重要．分布列的做法，期望的公式都是記憶的重點(diǎn)．