Question

【題目】已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為，記的軌跡為曲線.

（1）求的方程，并說明是什么曲線；

（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

①證明：是直角三角形；

②求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1），曲線為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn)；（2）①證明見解析；②.

【解析】

（1）利用列方程，化簡(jiǎn)后求得的方程，并判斷出是何種曲線.

（2）①通過計(jì)算，由此證得為直角三角形.

②利用弦長(zhǎng)公式，計(jì)算出，利用三角形面積公式求得面積，進(jìn)而求得面積的最大值.

（1），依題意，即，化簡(jiǎn)得.曲線為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn).

（2）①依題意可知，直線的斜率存在且不為零.

設(shè)直線的方程為，與曲線的方程聯(lián)立得，消去得.由于在第一象限，故

.

由于軸，垂直為點(diǎn)，所以，.

則，

由，消去得，所以，而,所以，.

所以.所以，所以為直角三角形.

②由①知，為直角三角形，且，所以.

，

，

所以，

令，所以.所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為.