Question

15．已知函數(shù)f（x）=xlnx+x²-ax+2（a∈R）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求證：x₁•x₂＞1．

Answer 1

分析 （1）考慮f（x）與x軸有切點(diǎn)，設(shè)為（m，0），求出導(dǎo)數(shù)，可得f′（m）=0，f（m）=0，解得a，m，考慮由于f（x）的圖象開口向上，由f′（1）=3-a＜0，解得a的范圍即可；
（2）由零點(diǎn)的定義，得到兩個(gè)方程，同除以x，兩式相減，整理化簡，結(jié)合分析法，構(gòu)造法，不妨設(shè)0＜x₁＜1，x₂＞1，即可得證．

解答 （1）解：函數(shù)f（x）=xlnx+x²-ax+2（a∈R）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂．
考慮f（x）與x軸有切點(diǎn)，設(shè)為（m，0），
f′（x）=lnx+1+2x-a，則lnm+1+2m-a=0，
又mlnm+m²-am+2=0，
消去a，可得m²+m-2=0，解得m=1（-2舍去），
則a=3，
由于f（x）的圖象開口向上，
由f′（1）=3-a＜0，解得a＞3，
可得f（x）在（0，+∞）不單調(diào)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂．
故a的范圍是（3，+∞）；
（2）證明：由題意可得x₁lnx₁+x₁²-ax₁+2=0，x₂lnx₂+x₂²-ax₂+2=0，
即為lnx₁+x₁-a+$\frac{2}{{x}_{1}}$=0，lnx₂+x₂-a+$\frac{2}{{x}_{2}}$=0，
兩式相減可得，lnx₁-lnx₂+x₁-x₂+$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=0，
即有1+$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
要證x₁•x₂＞1，即證$\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜2，
即有1+$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜2，
即$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜1，
即有$\frac{（ln{x}_{1}-{x}_{1}）-（ln{x}_{2}-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，（*）
令g（x）=lnx-x，g′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增．
則g（x）在x=1處取得極大值，且為最大值-1，
即有l(wèi)nx-x＜0，
不妨設(shè)0＜x₁＜1，x₂＞1，
則x₁-x₂＜0，lnx₁-x₁-（lnx₂-x₂）＞0，
故（*）成立，
即有x₁•x₂＞1．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查構(gòu)造法的運(yùn)用，以及分析法證明不等式，轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，化簡整理和推理的能力，有一定難度．