Question

5．設(shè)點(diǎn)M（x₀，1），設(shè)在圓O：x²+y²=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=30°，則實(shí)數(shù)x₀的取值范圍為$[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$．

Answer 1

分析 易知M點(diǎn)在直線y=1上，若設(shè)圓x²+y²=1與直線y=1的交點(diǎn)為T，顯然假設(shè)存在點(diǎn)N，使得∠OMN=30°，則必有∠OMN≤∠OMT，所以只需∠OMT≥30°即可，借助于三角函數(shù)容易求出x₀的范圍．

解答 解：易知M（x₀，1）在直線y=1上，設(shè)圓x²+y²=1與直線y=1的交點(diǎn)為T，顯然假設(shè)存在點(diǎn)N，使得∠OMN=30°，則必有∠OMN≤∠OMT，
所以要是圓上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=30°，只需∠OMT≥30°，
因?yàn)門（0，1），所以只需在Rt△OMT中，tan∠OMT=$\frac{1}{|{x}_{0}|}$≥tan30°=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
當(dāng)x₀=0時(shí)，顯然滿足題意，
故x₀∈$[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$．
故答案為$[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 此題重點(diǎn)考查了利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題，關(guān)鍵是弄清楚M點(diǎn)所在的位置，能夠找到∠OMN與∠OMT的大小關(guān)系，從而構(gòu)造出關(guān)于x₀的不等式．