己知數(shù)列{an}滿足，其中n∈N*，首項為a1

(1)若數(shù)列是一個無窮的常數(shù)數(shù)列，試求a1的值．

(2)若a1＝2，求滿足不等式的自然數(shù)n的集合

(3)若存在a1＝m，使數(shù)列{an}滿足，對任意的正整數(shù)n，均有．求m的取值范圍．

答案：
解析：

　　(1)令得，或　　2分

　　故或時，∴或　　4分

　　(2)解法一：，又

　　∴對大于1的正整數(shù)，都有　　5分

　　于是

　　∴數(shù)列是遞減數(shù)列　　6分

　　又，，，　　8分

　　故，即

　　∴且即為所求的自然數(shù)的范圍　　9分

　　解法二：由，，

　　猜想：　　6分

　　用數(shù)學歸納法證之：

　　時成立

　　若成立，

　　則

　　即：也成立

　　∴的通項公式為：　　8分

　　由得：∴且　　9分

　　解法三：由(1)知：　　5分

　　因，由(1)知，對都有　　6分

　　∴即數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列∴　　8分

　　以下同另解(一)　　9分

　　(3)由解得：或　　10分

　　同樣，要使則或　　11分

　　當時，，

　　不合題意　　12分

　　當時，，且，故可類推

　　的所有項均滿足

　　∴，即　　14分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•自貢一模）己知數(shù)列{an}滿足a1，an+1=
an3an+1
．
（I）求數(shù)列{an}的通項公式；
（II）記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，求Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

己知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=
1
2
an+n，n為奇數(shù)
an-2n，n為偶數(shù)

（1）求a2，a3；
（2）設bn=a2n-2，n∈N*，求證{bn} 是等比數(shù)列，并求其通項公式；
（3）在（2）條件下，求數(shù)列{an} 前100項中的所有偶數(shù)項的和S．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•綿陽二模）已知函數(shù)f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）
（I ）求g（x）=
f(x+1)
x+1
-x(x∈(-1，+∞))的單調區(qū)間與極大值；
（II ）任取兩個不等的正數(shù)x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
成立，求證：x1＜x0＜x2
（III）己知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=（1+
1
2n
）an+
1
n2
（n∈N+），求證：an＜e
11
4
（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

己知數(shù)列{an}滿足an+1+（-1）nan=n，（n∈N*），則數(shù)列{an}的前2016項的和S2016的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

己知數(shù)列{an}滿足a1=-42，an+1+(-1)nan=n，(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前2013項的和S2013的值是
 
．

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