Question

15．已知x≥0，x²+（y-6）²≤9，則$\frac{2{x}^{2}+\sqrt{3}xy+{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$的取值范圍為[1，2]．

Answer 1

分析 由題意作圖，從而利用換元法可得t=$\frac{x}{y}$，則0≤t≤$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；再化簡$\frac{2{x}^{2}+\sqrt{3}xy+{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{2\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\sqrt{3}\frac{x}{y}+1}{\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}+1}$=$\frac{2{t}^{2}+\sqrt{3}t+1}{{t}^{2}+1}$=2+$\frac{\sqrt{3}t-1}{{t}^{2}+1}$；令y=$\frac{\sqrt{3}t-1}{{t}^{2}+1}$，求導(dǎo)確定其取值范圍，從而求$\frac{2{x}^{2}+\sqrt{3}xy+{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$的取值范圍．

解答 解：由題意作x≥0，x²+（y-6）²≤9的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，直線m的斜率k=$\sqrt{3}$；
令t=$\frac{x}{y}$，則0≤t≤$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
$\frac{2{x}^{2}+\sqrt{3}xy+{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{2\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\sqrt{3}\frac{x}{y}+1}{\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}+1}$
=$\frac{2{t}^{2}+\sqrt{3}t+1}{{t}^{2}+1}$=2+$\frac{\sqrt{3}t-1}{{t}^{2}+1}$；
令y=$\frac{\sqrt{3}t-1}{{t}^{2}+1}$，
y′=$\frac{\sqrt{3}（{t}^{2}+1）-（\sqrt{3}t-1）2t}{（{t}^{2}+1）^{2}}$
=$\frac{-\sqrt{3}{t}^{2}+2t+\sqrt{3}}{（{t}^{2}+1）^{2}}$；
z=-$\sqrt{3}$t²+2t+$\sqrt{3}$的對(duì)稱軸t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
故當(dāng)0≤t≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，z≥-$\sqrt{3}$×0+0+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；
故y′＞0；
故y=$\frac{\sqrt{3}t-1}{{t}^{2}+1}$在[0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]上是增函數(shù)；
故$\frac{0-1}{0+1}$≤$\frac{\sqrt{3}t-1}{{t}^{2}+1}$≤$\frac{\sqrt{3}•\frac{\sqrt{3}}{3}-1}{\frac{1}{3}+1}$=0；
故-1≤$\frac{\sqrt{3}t-1}{{t}^{2}+1}$≤0；
故1≤2+$\frac{\sqrt{3}t-1}{{t}^{2}+1}$≤2；
故答案為：[1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了換元法的應(yīng)用，屬于中檔題．