Question

6．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ax，其中a∈R．
（1）若對(duì)于任意的x∈（-1，+∞），f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求證：（$\frac{1}{n}$）ⁿ+（$\frac{2}{n}$）ⁿ+（$\frac{3}{n}$）ⁿ+…+（$\frac{n-1}{n}$）ⁿ＜$\frac{1}{e-1}$．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性從而求出a的值；
（2）根據(jù)ln（1+x）＜x，得到${（\frac{n-k}{n}）}^{n}$＜e^-k，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-a=$\frac{1-a-ax}{1+x}$，
①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{1+x}$，
∵x∈（-1，+∞），∴f′（x）＞0，f（x）在（-1，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥f（0）=0，不合題意；
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{a}$-1＞-1，
x∈（-1，$\frac{1}{a}$-1），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
x∈（$\frac{1}{a}$-1，+∞），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$-1）=ln$\frac{1}{a}$-a（$\frac{1}{a}$-1）≤0，
即a-1-lna≥0，
設(shè)g（a）=a-1-lna，則g′（a）=1-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-1}{a}$，
∴a∈（0，1）時(shí)，g′（a）＜0，g（a）遞減，
a∈（1，+∞）時(shí)，g′（a）＞0，g（a）遞增，
∴g（a）_min=g（1）=0，
∴a=1；
③a＜0時(shí)，令f（x）=0，得x≤$\frac{1}{a}$-1＜-1，
x∈（-1，+∞），f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥f（0）=0，不合題意；
綜上，a=1時(shí)，對(duì)于任意的x∈（-1，+∞），f（x）≤0恒成立．
（2）∵ln（1+x）≤x，（x＞-1），（當(dāng)且僅當(dāng)x≥0取得），
令x=-$\frac{k}{n}$，（k=1，2，3，…，n-1），（n∈N^*），
ln（1-$\frac{k}{n}$）＜-$\frac{k}{n}$⇒nln（1-$\frac{k}{n}$）＜-k⇒ln${（1-\frac{k}{n}）}^{n}$＜-k⇒${（\frac{n-k}{n}）}^{n}$＜e^-k，
（$\frac{1}{n}$）ⁿ+（$\frac{2}{n}$）ⁿ+（$\frac{3}{n}$）ⁿ+…+（$\frac{n-1}{n}$）ⁿ＜＜e^-1+e^-2+…+-e^-（n-1）＜$\frac{\frac{1}{e}[1{-（\frac{1}{e}）}^{n-1}]}{1-\frac{1}{e}}$＜$\frac{\frac{1}{e}}{1-\frac{1}{e}}$=$\frac{1}{e-1}$．
即得：（$\frac{1}{n}$）ⁿ+（$\frac{2}{n}$）ⁿ+（$\frac{3}{n}$）ⁿ+…+（$\frac{n-1}{n}$）ⁿ＜$\frac{1}{e-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式恒成立問(wèn)題，是一道難題．