若x，y∈（0，+∞），且x+y=1，證明
1
x-x4
+
1
y-y4
＞4．
考點(diǎn)：不等式的證明
專(zhuān)題：推理和證明
分析：構(gòu)造函數(shù)t（x）=x-x4，利用導(dǎo)數(shù)法求得t（x）max=
3
32
8
，即(
1
x-x4
)min=
8
3
32
，再證明
8
3
32
＞2，同理可證
1
y-y4
＞2，于是結(jié)論得以證明．
解答： 證明：∵x，y∈（0，+∞），且x+y=1，
∴x∈（0，1），且y∈（0，1），
令t（x）=x-x4，
則t′（x）=1-4x3，由t′（x）=0得：x=
3
1
4
=
32
2
，
當(dāng)x∈（0，
32
2
）時(shí)，t′（x）＞0，t（x）=x-x4為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（
32
2
，1）時(shí)，t′（x）＜0，t（x）=x-x4為減函數(shù)；
∴當(dāng)x=
32
2
時(shí)，t（x）=x-x4取得最大值為：
32
2
-(
32
2
)4=
3
4
•
32
2
=
3
32
8
，
∴
1
x-x4
取得最小值為：
1
3
32
8
=
8
3
32
，
∵(
8
3
32
)3-23=
512
54
-8=
256-27×8
27
=
40
27
＞0，
∴
1
x-x4
≥
8
3
32
＞2；
同理可證：
1
y-y4
＞2，
∴
1
x-x4
+
1
y-y4
＞4（證畢）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，構(gòu)造函數(shù)t（x）=x-x4，利用導(dǎo)數(shù)法求得t（x）max=
3
32
8
，即(
1
x-x4
)min=
8
3
32
＞2是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查轉(zhuǎn)化思想與推理論證能力，是難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+3•（
1
2
）x，若不等式f（x）+f（x+2）≤k對(duì)于任意的x≥0總成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-
2
3
與x=1時(shí)都取得極值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若對(duì)x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知矩形ABCD中，AB=2AD=4，E為CD的中點(diǎn)，沿AE將三角形AED折起，使DB=2
3
，如圖，O、H分別為AE、AB的中點(diǎn)．
（1）求證：直線OH∥平面BDE；
（2）求證：平面ADE⊥平面ABCE；
（3）求二面角O-DH-E的余弦值的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

化簡(jiǎn)：
（1）（sinα+cosα）2；
（2）cos4θ-sin4θ；
（3）sinxcosxcos2x；
（4）
1
1-tanθ
-
1
1+tanθ
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

2012年中秋、國(guó)慶雙節(jié)期間，中央電視臺(tái)推出了《走基層•百姓心聲》調(diào)查節(jié)目，入基層對(duì)幾千名各行業(yè)的人進(jìn)行采訪，面對(duì)的問(wèn)題都是“你幸福嗎？”“幸�！狈Q(chēng)為媒體的熱門(mén)詞匯．現(xiàn)隨機(jī)抽取50位市民，對(duì)他們的幸福指數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下分布表：
幸福級(jí)別非常幸福幸福不知道不幸福
幸福指數(shù)（分）9060300
個(gè)數(shù)（個(gè)）192173
（1）求這個(gè)50位市民幸福指數(shù)的數(shù)學(xué)期望（即平均值）；
（2）以這50人為樣本的幸福指數(shù)來(lái)估計(jì)全市民的總體幸福指數(shù)，若從全市市民（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示抽到幸福級(jí)別為“非常幸�；蛐腋！笔忻袢藬�(shù)；求ξ的分布列以及Eξ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，且
PF
•
QF
=0，又點(diǎn)E（-1，0），求
EP
•
EQ
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求滿(mǎn)足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1（
6
，0）P2（-
3
，-
2
）；
（2）與橢圓
x2
4
+
y2
3
=1有相同的離心率，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，
3
）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足2an-Sn=1，n∈N*．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）在數(shù)列{an}的第兩項(xiàng)之間都按照如下規(guī)則插入一些數(shù)后，構(gòu)成新數(shù)列{bn}；an和an+1兩項(xiàng)之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，求b100的值．
（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列{bn}，若bm=a100，求m的值，并求b1+b2+b3+…+bm．

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