Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

與x=1時(shí)都取得極值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若對(duì)x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)f′（x）=3x²+2ax+b；代入x=-

2

3

與x=1求a，b的值；
（Ⅱ）f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，x∈[-1，2]，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，從而得到c²＞f（2）=2+c，從而求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（Ⅲ）解：當(dāng)x=1時(shí)有極小值f（1）=1-

1

2

-2+c=-

3

2

+c；結(jié)合極大值及函數(shù)的圖象求解實(shí)數(shù)c的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x³+ax²+bx+c，
f′（x）=3x²+2ax+b；
由f′（-

2

3

）=

12

9

-

4

3

a+b=0，
f′（1）=3+2a+b=0聯(lián)立解得，
a=-

1

2

，b=-2；
（Ⅱ）f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，x∈〔-1，2〕，當(dāng)x=-

2

3

時(shí)，f（x）=

22

27

+c為極大值，
而f（2）=2+c，
則f（2）=2+c為最大值．
要使f（x）＜c²（x∈〔-1，2〕）恒成立，
只需c²＞f（2）=2+c，
解得c＜-1或c＞2．
（Ⅲ）解：當(dāng)x=1時(shí)有極小值f（1）=1-

1

2

-2+c=-

3

2

+c；
故-

3

2

+c＜0＜

22

27

+c；
故-

22

27

＜c＜

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．