Question

點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線C：x²=2y上的不同兩點，過A，B分別作拋物線C的切線，兩條切線交于點P（x₀，y₀）．
（1）求證：x₀是x₁與x₂的等差中項；
（2）若直線AB過定點M（0，1），求證：原點O是△PAB的垂心；
（3）在（2）的條件下，求△PAB的重心G的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）對x²=2y求導　　得y'=x，
所以直線PA：y=x₁（x-x₁）+y₁，即
同理，直線，解得
所以x₀是x₁與x₂的等差中項； （5分）
（2）設直線AB：y=kx+1，代入x²=2y整理得x²-2kx-2=0．
∴，得
∴即AB⊥OP；k_AP=x₁，
∴，
∴AP⊥OB，同理BP⊥OA，
所以原點O是△PAB的垂心； （（10分），只需證明兩個垂直就得滿分）
（3）設△PAB的重心G（x，y），則，
因為k∈R，所以點G的軌跡方程為． （15分）
分析：（1）首先求出拋物線的導數，進而求出直線PA和PB的方程，得出 即可證明結論．
（2）設出直線方程并代入拋物線方程，利用韋達定理求出x0和y0，即可求出斜率，根據斜率乘積為-1得出垂直即可證明結論；
（3）設中重心的坐標為G（x，y），可以得出x=k，y=k²+，即可求出軌跡方程．
點評：本題考查了導數的幾何意義，兩直線垂直的判定，三角形的重心等知識，（3）問明確重心的意義是解題的關鍵，解題過程要認真，屬于中檔題．