Question

3．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與圓C₂：x²+y²=b²，若在橢圓C₁上存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓C₂的兩條切線互相垂直，則橢圓C₁的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{2}$，1）
• B． [$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]
• D． [$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）

Answer 1

分析 設(shè)兩切點(diǎn)分別為A，B，利用O、P、A、B四點(diǎn)共圓的性質(zhì)可得|OP|，結(jié)合隱含條件求得橢圓C的離心率的取值范圍．

解答 解：設(shè)兩切點(diǎn)分別為A，B，連接OA，OB，OP，依題意，O、P、A、B四點(diǎn)共圓，
∵∠APB=90°，
∴四邊形OAPB為正方形，
∴|OP|=$\sqrt{2}b$，
∴b＜|OP|≤a，即$b＜\sqrt{2}b≤a$，
∴2b²≤a²，即2（a²-c²）≤a²，
∴a²≤2c²，即$e=\frac{c}{a}≥\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1，
∴橢圓C的離心率的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率，考查四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．