Question

12．已知數(shù)列{a_n}通項(xiàng)a_n=2n-1，且數(shù)列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$}的前m項(xiàng)和為5，則m=60．

Answer 1

分析 由題意運(yùn)用分母有理化，可得$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$），再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，解方程可得m的值．

解答 解：數(shù)列{a_n}通項(xiàng)a_n=2n-1，
則$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$），
數(shù)列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$}的前m項(xiàng)和為$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2m+1}$-$\sqrt{2m-1}$）
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2m+1}$-1）=5，
解得m=60，
故答案為：60．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．