Question

16．函數(shù)f（x）=|e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$|（e為自然對數(shù)的底）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是（　�。�

• A． [0，1]
• B． [-0，e]
• C． [-1，1]
• D． （-e，e]

Answer 1

分析 若m≤0，則e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$＞0恒成立，若函數(shù)f（x）=|e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$|（e為自然對數(shù)的底）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0恒成立，
若m＞0，則e^x+$\frac{m}{{e}^{x}}$＞0為增函數(shù)，若函數(shù)f（x）=|e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$|（e為自然對數(shù)的底）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，則e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$≥0在區(qū)間[0，1]上恒成立．

解答 解：若m≤0，則e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$＞0恒成立，則f（x）=|e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$|=e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$，
則f′（x）=e^x+$\frac{m}{{e}^{x}}$為增函數(shù)，
若函數(shù)f（x）=|e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$|（e為自然對數(shù)的底）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，
則f′（x）≥0恒成立，則僅須x=0時，1+m≥0，即m≥-1即可，
故此時：-1≤m≤0，
若m＞0，則e^x+$\frac{m}{{e}^{x}}$＞0為增函數(shù)，
若函數(shù)f（x）=|e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$|（e為自然對數(shù)的底）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，
則e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$≥0在區(qū)間[0，1]上恒成立，
此時1-m≥0，即m≤1即可，
故此時：0＜m≤1，
綜上所述m的取值范圍是[-1，1]，
故選：C

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，恒成立問題，難度中檔．