【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的圖像如圖,直線y=0在原點(diǎn)處與函數(shù)圖像相切,且此切線與函數(shù)圖像所圍成的區(qū)域(陰影)面積為 .
(1)求f(x)的解析式
(2)若常數(shù)m>0,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣m,m]上的最大值.
【答案】
(1)解:由圖像知,f(0)=0,得c=0,
f′(x)=3x2+2ax+b,由f′(0)=0,得b=0,
∴f(x)=x3+ax2=x2(x+a),
令f(x)=0,可得x=0或者x=﹣a,
可以得到圖像與x軸交點(diǎn)為(0,0),(﹣a,0),
故對﹣f(x)從0到﹣a求定積分即為所求面積,即 [﹣f(x)]dx= ,
∫0﹣a(﹣x3﹣ax2)dx= ,解得a=﹣3.
∴f(x)=x3﹣3x2
(2)解:由(1)知f'(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2).則x,f'(x),f(x)的取值變化情況如下表:
x | (﹣∞,0) | 0 | (0,2) | 2 | (2,+∞) |
f'(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | 單調(diào)遞增 | 極大值f(0)=0 | 單調(diào)遞減 | 極小值f(2)=﹣4 | 單調(diào)遞增 |
又f(3)=0,
①當(dāng)0<m≤3時(shí),f(x)max=f(0)=0;
②當(dāng)m>3時(shí), .
綜上可知
【解析】(1)根據(jù)圖像所過點(diǎn)(0,0),及y=0與在原點(diǎn)處與函數(shù)圖像相切可求b,c,由題目中給出了區(qū)域的面積,我們可以從定積分著手,求出函數(shù)以及函數(shù)與x軸的交點(diǎn),建立方程可求解參數(shù).(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值,求出函數(shù)的零點(diǎn),分0<m≤3,m>3兩種情況進(jìn)行討論,借助圖像可求得函數(shù)的最大值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從高一年級(jí)A,B兩個(gè)班中各選出7名學(xué)生參加物理競賽,他們的成績(單位:分)的莖葉圖如圖所示,其中A班學(xué)生的平均分是85分
(1)求m的值,并計(jì)算A班7名學(xué)生成績的方差s2;
(2)從成績在90分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生,求至少有一名A班學(xué)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若數(shù)據(jù)x1 , x2 , x3 , x4 , x5的方差為3,則數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x4+1,2x5+1的方差為 .
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【題目】已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為、, 為橢圓的右頂點(diǎn), , 分別為橢圓的上、下頂點(diǎn).線段的延長線與線段交于點(diǎn),與橢圓交于點(diǎn).(1)若橢圓的離心率為, 的面積為12,求橢圓的方程;(2)設(shè) ,求實(shí)數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a>0,b>0,且a2+b2= ,若a+b≤m恒成立, (Ⅰ)求m的最小值;
(Ⅱ)若2|x﹣1|+|x|≥a+b對任意的a,b恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某中學(xué)聯(lián)盟舉行了一次“盟校質(zhì)量調(diào)研考試”活動(dòng),為了解本次考試學(xué)生的某學(xué)科成績情況,從中抽取部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(滿分為分,得分取正整數(shù),抽取學(xué)生的分?jǐn)?shù)均在之內(nèi))作為樣本(樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),按照的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(莖葉圖中僅列出了得分在的數(shù)據(jù))
(Ⅰ)求樣本容量和頻率分布直方圖中的的值;
(Ⅱ)在選取的樣本中,從成績在分以上(含分)的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生參加“省級(jí)學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)競賽”,求所抽取的名學(xué)生中恰有一人得分在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某河道中過度滋長一種藻類,環(huán)保部門決定投入生物凈化劑凈化水體. 因技術(shù)原因,第t分鐘內(nèi)投放凈化劑的路徑長度 (單位:m),凈化劑凈化水體的寬度 (單位:m)是時(shí)間t(單位:分鐘)的函數(shù): (由單位時(shí)間投放的凈化劑數(shù)量確定,設(shè)為常數(shù),且).
(1)試寫出投放凈化劑的第t分鐘內(nèi)凈化水體面積的表達(dá)式;
(2)求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系取相同的長度單位,且以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸非負(fù)半軸為極軸)中,直線的方程為.
(1)求曲線的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn),求點(diǎn)到直線的距離的最大值.
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