已知函數(shù),m,a,b∈R.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x);
(Ⅱ)當(dāng)m=1時(shí),若函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),求z=a+b的最小值;
(Ⅲ)當(dāng)a=1,時(shí),函數(shù)f(x)在(2,+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求m的取值范圍.
【答案】分析:(1)直接運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求導(dǎo);
(2)根據(jù)函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),轉(zhuǎn)化成f'(x)≥0在R上恒成立.建立a,b的約束條件,利用參數(shù)方程求a+b的最小值;
(3)討論m的范圍,當(dāng)m≥0時(shí)顯然成立,當(dāng)m<0時(shí),要使f'(x)在(2,+∞)上存在子區(qū)間使f'(x)>0,應(yīng)滿足m<0,
再結(jié)合圖象建立不等關(guān)系即可.
解答:解:
(Ⅰ)f'(x)=mx2+2ax+(1-b2).(3分)
(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的增函數(shù),所以f'(x)≥0在R上恒成立.
則有△=4a2-4(1-b2)≤0,即a2+b2≤1.
設(shè)(θ為參數(shù),0≤r≤1),
則z=a+b=r(cosθ+sinθ)=
當(dāng),且r=1時(shí),z=a+b取得最小值
(Ⅲ)=1 ①當(dāng)m>0時(shí),f'(x)=mx2+2x-1是開口向上的拋物線,
顯然f'(x)在(2,+∞)上存在子區(qū)間使得f'(x)>0,所以m的取值范圍是(0,+∞).
②當(dāng)m=0時(shí),顯然成立.
③當(dāng)m<0時(shí),f'(x)=mx2+2x-1是開口向下的拋物線,
要使f'(x)在(2,+∞)上存在子區(qū)間使f'(x)>0,應(yīng)滿足m<0,



解得,或,所以m的取值范圍是
則m的取值范圍是.(13分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和簡單線性規(guī)劃求最值,屬于中檔題.
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設(shè)h(x)=,x∈[,5],其中m是不等于零的常數(shù),

(1)寫出h(4x)的定義域;

(2)求h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(3)已知函數(shù)f(x)(x∈[a,b]),定義:f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]).其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值.例如:f(x)=cosx,x∈[0,π],則f1(x)=cosx,x∈[0,π],f2(x)=1,x∈[0,π],當(dāng)m=1時(shí),設(shè),不等式t≤M1(x)-M2(x)≤n恒成立,求t,n的取值范圍;

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已知函數(shù),m,a,b∈R.
(Ⅰ)當(dāng)m=1時(shí),若函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),求的最小值;
(Ⅱ)當(dāng)a=1,時(shí),函數(shù)f(x)在(2,+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求m的取值范圍.

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(Ⅱ)當(dāng)m=1時(shí),若函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),求z=a+b的最小值;
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