設(shè)．?dāng)?shù)列{a(n,p)}滿足．

(1)求證：是等差數(shù)列；

(2)求證：

(3)設(shè)函數(shù)，試比較與的大小．

答案：
解析：

　　解：(1)由，令p＝2，得

　　，(n≥2)

　　兩式相減，得＝4n－3且n＝1時(shí)也成立．

　　所以，即是等差數(shù)列．

　　(2)設(shè)，

　　而，又

　　所以．

　　(3)

　　所以．

　　為了比較與的大小，

　　即要判斷的符號．

　　設(shè)，則上式即為，設(shè)

　　．

　　其導(dǎo)數(shù)為．

　　當(dāng)X≥A時(shí)，是增函數(shù)，所以，且當(dāng)X＝A時(shí)等號成立．

　　當(dāng)X＜A時(shí)，是減函數(shù)，所以．

　　縱上所述，，當(dāng)且僅當(dāng)x＝a時(shí)等號成立．


提示：

這是以組合數(shù)為背影，將數(shù)列、組合、數(shù)求和、不等式的證明、導(dǎo)數(shù)等知識有機(jī)結(jié)合起來的問題，要求學(xué)生具有對數(shù)學(xué)符號的感悟能力，數(shù)學(xué)表達(dá)式的變換能力，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的聯(lián)想能力以及變形轉(zhuǎn)化換元轉(zhuǎn)化分類討論等數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列{an}，如果滿足ai+i（i=1，2，3，…）為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”；
不論數(shù)列{an}是否具有“P性質(zhì)”，如果存在與{an}不是同一數(shù)列的{bn}，且{bn}同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件：①b1，b2，b3，…，bn是a1，a2，a3，…，an的一個(gè)排列；②數(shù)列{bn}具有“P性質(zhì)”，則稱數(shù)列{an}具有“變換P性質(zhì)”．
（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=
n3
(n2-1)，證明數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”；
（Ⅱ）試判斷數(shù)列1，2，3，4，5和數(shù)列1，2，3，…，11是否具有“變換P性質(zhì)”，具有此性質(zhì)的數(shù)列請寫出相應(yīng)的數(shù)列{bn}，不具此性質(zhì)的說明理由；
（Ⅲ）對于有限項(xiàng)數(shù)列A：1，2，3，…，n，某人已經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)n∈[12，m2]（m≥5）時(shí)，數(shù)列A具有“變換P性質(zhì)”，試證明：當(dāng)n∈[m2+1，（m+1）2]時(shí)，數(shù)列A也具有“變換P性質(zhì)”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•閔行區(qū)二模）過坐標(biāo)原點(diǎn)O作傾斜角為60°的直線交拋物線Γ：y2=x于P1點(diǎn)，過P1點(diǎn)作傾斜角為120°的直線交x軸于Q1點(diǎn)，交Γ于P2點(diǎn)；過P2點(diǎn)作傾斜角為60°的直線交x軸于Q2點(diǎn)，交Γ于P3點(diǎn)；過P3點(diǎn)作傾斜角為120°的直線，交x軸于Q3點(diǎn)，交Γ于P4點(diǎn)；如此下去…．又設(shè)線段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Qn-1Qn，…的長分別為a1，a2，a3，…，an，…，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn．
（1）求a1，a2；
（2）求an，Sn；
（3）設(shè)bn=aan(a＞0且a≠1)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若正整數(shù)p，q，r，s成等差數(shù)列，且p＜q＜r＜s，試比較Tp•Ts與Tq•Tr的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•浦東新區(qū)一模）設(shè)滿足條件P：an+an+2≥2an+1(n∈N*)的數(shù)列組成的集合為A，而滿足條件Q：an+an+2＜2an+1(n∈N*)的數(shù)列組成的集合為B．
（1）判斷數(shù)列{an}：an=1-2n和數(shù)列{bn}：bn=1-2n是否為集合A或B中的元素？
（2）已知數(shù)列an=(n-k)3，研究{an}是否為集合A或B中的元素；若是，求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；若不是，請說明理由．
（3）已an=31(-1)i•log2n(i∈Z，n∈N*)，若{an}為集合B中的元素，求滿足不等式|2n-an|＜60的n的值組成的集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•佛山一模）設(shè)n∈N+，圓Cn：x2+y2=R
 
2
n
（Rn＞0）與y軸正半軸的交點(diǎn)為M，與曲線y=
x
的交點(diǎn)為N（xn，yn），直線MN與x軸的交點(diǎn)為A（an，0）．
（1）用xn表示Rn和an；
（2）若數(shù)列{xn}滿足：xn+1=4xn+3，x1=3．
①求常數(shù)P的值使數(shù)列{an+1-p•an}成等比數(shù)列；
②比較an與2•3n的大小．

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