Question

已知函數(shù)y=sin2x+

1

2

sinx+1(x∈R)，若當(dāng)y取得最大值時(shí)x=α，當(dāng)y取得最小值時(shí)x=β，且α，β∈[-

π

2

，

π

2

]，則sin（α-β）=

15

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)sinx的值域，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值時(shí)x的值，確定出α的值，求出y最小值時(shí)x的值，確定出β的值，即可求出sin（α-β）的值．

解答：解：函數(shù)y=（sinx+

1

4

）²+

15

16

，
∵-1≤sinx≤1，
∴當(dāng)sinx=-

1

4

時(shí)，函數(shù)y取得最小值

15

16

；當(dāng)sinx=1時(shí)，函數(shù)y取得最大值為

5

2

，
∴sinα=1，sinβ=-

1

4

，
∵α，β∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴cosα=0，cosβ=

15

4

，
則sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=1×

15

4

-0=

15

4

．
故答案為：

15

4

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．