Question

18．過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線l與圓心在原點(diǎn)的圓相交于A、B兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)|AB|=$\sqrt{14}$，△A0B的面積為$\frac{\sqrt{7}}{2}$，求直線l與圓的方程．

Answer 1

分析 設(shè)直線l為y=kx+1，圓的方程為x²+y²=r²，由點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式，以及三角形的面積公式，就是即可得到所求．

解答 解：直線l的斜率顯然存在，設(shè)為y=kx+1，
圓的方程為x²+y²=r²，
圓心O到直線的距離為d=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，①
由弦長(zhǎng)公式可得2$\sqrt{{r}^{2}-prbvnvf^{2}}$=$\sqrt{14}$，②
△A0B的面積為S=$\frac{1}{2}$•d•$\sqrt{14}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，③
解得d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，k=±1，r=2，
即有直線l的方程為y=±x+1，
圓的方程為x²+y²=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的方程的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式，屬于中檔題．