Question

已知橢圓的左右兩焦點(diǎn)分別為，是橢圓上一點(diǎn)，且在軸上方，．

（1）求橢圓的離心率的取值范圍；
（2）當(dāng)取最大值時(shí)，過的圓的截軸的線段長(zhǎng)為6，求橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，過橢圓右準(zhǔn)線上任一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為．試探究直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）由,,.即可求得的取值范圍.
(2)由（1）可得.以及是圓的直徑可得.即可求出橢圓的方程.
（3）由（2）可得圓Q的方程.切點(diǎn)M,N所在的圓的方程上任一點(diǎn)坐標(biāo)為P（x,y）.由.即得.則M,N所在的直線方程為.兩圓方程對(duì)減即可得到.根據(jù)過定點(diǎn)的知識(shí)即可求出定點(diǎn).本題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，滲透方程的思想，加強(qiáng)對(duì)幾何圖形的關(guān)系理解.
試題解析： ， ∴，．
(1)，∴,在上單調(diào)遞減．
∴時(shí)，最小，時(shí)，最大，∴，∴．
(2)當(dāng)時(shí)，，∴，∴．
∵,∴是圓的直徑，圓心是的中點(diǎn)，∴在y軸上截得的弦長(zhǎng)就是直徑，∴=6．又，∴．∴橢圓方程是    10分
（3）由（2）得到，于是圓心,半徑為3，圓的方程是．橢圓的右準(zhǔn)線方程為，,∵直線AM,AN是圓Q的兩條切線，∴切點(diǎn)M,N在以AQ為直徑的圓上．設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為，∴該圓方程為．∴直線MN是兩圓的公共弦，兩圓方程相減得：，這就是直線MN的方程．該直線化為：
∴直線MN必過定點(diǎn)．                     16分