Question

8．若曲線y=1+log_ax（a＞0且a≠1）在點(diǎn)（1，1）處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則a=e．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件，可得a的方程，即可求得a，

解答 解：∵y=1+log_ax，
∴y′=$\frac{1}{xlna}$，
∴y′|_x=1=$\frac{1}{lna}$，
∵曲線y=1+log_ax（a＞0且a≠1）在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為y-1=$\frac{1}{lna}$（x-1），
∵曲線y=1+log_ax（a＞0且a≠1）在點(diǎn)（1，1）處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴0-1=$\frac{1}{lna}$（0-1），∴a=e
故答案為e．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．