Question

18．如圖，已知BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O的切線交BC的延長線于點(diǎn)P，∠APB的平分線分別交AB，AC于點(diǎn)E，D．
（Ⅰ）證明：AE=AD；
（Ⅱ）若AC=CP，求$\frac{PC}{PA}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PA是⊙O切線，可得∠CAP=∠ABP，由∠APD=∠CPD，根據(jù)∠AED=∠ABP+∠CPD，∠ADE=∠APD+∠CAP，即可求得，∠AED=∠ADE，可證AE=AD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠CAP=∠ABP，由AC=CP，可得：∠APC=∠CAP，因此∠APC=∠ABP，可得AB=AP，由BC是☉O的直徑，可得∠BAC=$\frac{π}{2}$，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可得到∠ABP=$\frac{π}{6}$，所以可得$\frac{PC}{PA}$=$\frac{AC}{AB}$=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵PA是⊙O切線，AB是⊙O弦，
∴∠CAP=∠ABP，
∵PE平分∠APB，
∴∠APD=∠CPD，
又∠AED=∠ABP+∠CPD，∠ADE=∠APD+∠CAP，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD．
（Ⅱ）由（1）知∠CAP=∠ABP，
∵AC=CP，∴∠APC=∠CAP，
∴∠APC=∠ABP，∴AB=AP，
∵BC是☉O的直徑，∴∠BAC=$\frac{π}{2}$，
由三角形內(nèi)角和定理知，∠CAP+∠CPA+∠ACP=π，
又∠ACP=∠BAC+∠ABP=$\frac{π}{2}$+∠ABP，
∴$\frac{π}{2}$+∠ABP+∠APC+∠CAP=π，
∴∠ABP=$\frac{π}{6}$，
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{AC}{AB}$=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查弦切角定理，角平分線定理，等角對等邊及三角形內(nèi)角和定理等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，考查考生的轉(zhuǎn)化和化歸能力、運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．