【題目】如圖,正方形與梯形所在的平面互相垂直, ,,點(diǎn)在線段上.
(Ⅰ) 若點(diǎn)為的中點(diǎn),求證:平面;
(Ⅱ) 求證:平面平面;
(Ⅲ) 當(dāng)平面與平面所成二面角的余弦值為時(shí),求的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3).
【解析】
(1)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量的結(jié)論可證得BM⊥平面ADEF的法向量,從而可證得線面平行;
(2)分別求得平面,平面的法向量,由法向量的數(shù)量積為0可證得面面垂直;
(3)設(shè),由題意可得點(diǎn)M的坐標(biāo),分別求得兩個(gè)半平面的法向量,由二面角的余弦值得到關(guān)于的方程,解方程求得的值即可確定的長.
(1)∵正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD為交線,
∴ED⊥平面ABCD,由已知得DA,DE,DC兩兩垂直,
如圖建系D-xyz,可得D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),E(0,0,1),F(1,0,1).
由M為C的中點(diǎn),知,故.
易知平面ADEF的法向量為,
,
∵BM平面ADEF,∴BM//平面ADEF.
(2)由(1)知,
設(shè)平面BDE的法向量為,
平面BEC的法向量為,
由得,
由得,
,故平面BDE⊥平面BEC.
(3)設(shè),設(shè),計(jì)算可得,
則,
設(shè)平面BDM的法向量為,
由得,
易知平面ABF的法向量為,
由已知得 ,
解得,此時(shí),
,則,即AM的長為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在直三棱柱中,D點(diǎn)為棱AB的中點(diǎn).
求證:平面;
若,,求二面角的余弦值;
若,,兩兩垂直,求證:此三棱柱為正三棱柱.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理:“冪勢既同,則積不容異”.意思是:兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等.橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體.如圖,將底面直徑都為,高皆為的橢半球體和已被挖去了圓錐體的圓柱放置于同一平面上,用平行于平面且與平面任意距離處的平面截這兩個(gè)幾何體,可橫截得到及兩截面.可以證明總成立.據(jù)此,半短軸長為1,半長軸長為3的橢球體的體積是_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+(a-1)x+a2-5=0}.
(1)若A∩B={2},求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若A∪B=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】郴州市某中學(xué)從甲乙兩個(gè)教師所教班級的學(xué)生中隨機(jī)抽取100人,每人分別對兩個(gè)教師進(jìn)行評分,滿分均為100分,整理評分?jǐn)?shù)據(jù),將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組:,,,,,.得到甲教師的頻率分布直方圖,和乙教師的頻數(shù)分布表:
乙教師分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表 | |
分?jǐn)?shù)區(qū)間 | 頻數(shù) |
3 | |
3 | |
15 | |
19 | |
35 | |
25 |
(1)在抽樣的100人中,求對甲教師的評分低于70分的人數(shù);
(2)從對乙教師的評分在范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人,求2人評分均在范圍內(nèi)的概率;
(3)如果該校以學(xué)生對老師評分的中位數(shù)是否大于80分作為衡量一個(gè)教師是否可評為該年度該校優(yōu)秀教師的標(biāo)準(zhǔn),則甲、乙兩個(gè)教師中哪一個(gè)可評為年度該校優(yōu)秀教師?(精確到0.1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為發(fā)揮體育在核心素養(yǎng)時(shí)代的獨(dú)特育人價(jià)值,越來越多的中學(xué)已將某些體育項(xiàng)目納入到學(xué)生的必修課程,甚至關(guān)系到是否能拿到畢業(yè)證.某中學(xué)計(jì)劃在高一年級開設(shè)游泳課程,為了解學(xué)生對游泳的興趣,某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組隨機(jī)從該校高一年級學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查,其中男生60人,且抽取的男生中對游泳有興趣的占,而抽取的女生中有15人表示對游泳沒有興趣.
(1)試完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為“對游泳是否有興趣與性別有關(guān)”?
有興趣 | 沒興趣 | 合計(jì) | |
男生 | |||
女生 | |||
合計(jì) |
(2)已知在被抽取的女生中有6名高一(1)班的學(xué)生,其中3名對游泳有興趣,現(xiàn)在從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,求至少有2人對游泳有興趣的概率.
(3)該研究性學(xué)習(xí)小組在調(diào)查中發(fā)現(xiàn),對游泳有興趣的學(xué)生中有部分曾在市級和市級以上游泳比賽中獲獎(jiǎng),如下表所示.若從高一(8)班和高一(9)班獲獎(jiǎng)學(xué)生中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行跟蹤調(diào)查,記選中的4人中市級以上游泳比賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
班級 | |||||||||||
市級比賽 獲獎(jiǎng)人數(shù) | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 3 | 3 | 4 | 2 | |
市級以上比賽獲獎(jiǎng)人數(shù) | 2 | 2 | 1 | 0 | 2 | 3 | 3 | 2 | 1 | 2 |
0.500 | 0.400 | 0.250 | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】十九大提出:堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn),做到精準(zhǔn)扶貧,某幫扶單位為幫助定點(diǎn)扶貧村真正脫貧,堅(jiān)持扶貧同扶智相結(jié)合,幫助貧困村種植臍橙,并利用互聯(lián)網(wǎng)電商進(jìn)行銷售,為了提高銷量,現(xiàn)從該村的臍橙樹上隨機(jī)摘下100個(gè)臍橙進(jìn)行測重,其質(zhì)量(單位克)分布在區(qū)間[200,500內(nèi),由統(tǒng)計(jì)的質(zhì)量數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖如圖所示.
(1)按分層抽樣的方法從質(zhì)量在,的臍橙中隨機(jī)抽取5個(gè),再從這5個(gè)臍橙中隨機(jī)抽取2個(gè),求這2個(gè)臍橙質(zhì)量至少有一個(gè)不小于400克的概率;
(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代替這組數(shù)據(jù)的平均值,以頻率代替概率,已知該村的臍橙種植地上大約還有100000個(gè)臍橙待出售,某電商提出兩種收購方案:
A.所有臍橙均以7元/千克收購;
B.低于350克的臍橙以2元/個(gè)收購,其余的以3元/個(gè)收購.
請你通過計(jì)算為該村選擇收益較好的方案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,,左、右焦點(diǎn)分別為,,離心率為,點(diǎn),為線段的中點(diǎn).
()求橢圓的方程.
()若過點(diǎn)且斜率不為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),已知直線與相交于點(diǎn),試判斷點(diǎn)是否在定直線上?若是,請求出定直線的方程;若不是,請說明理由.
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