Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足下列三個條件：
（1）對任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）；
（2）x∈[0，2]時，f（x）=lg（x+1）；
（3）y=f（x+2）的圖象關于y軸對稱．
則下列結論中正確的是（　�。�

• A、f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）
• B、f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）
• C、f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）
• D、f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：求解本題需要先把函數(shù)的性質研究清楚，由三個條件知函數(shù)周期為4，其對稱軸方程為x=2，在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，觀察四個選項發(fā)現(xiàn)自變量都不在已知的單調(diào)區(qū)間內(nèi)故應用相關的性質將其值用區(qū)間[0，2]上的函數(shù)值表示出，以方便利用單調(diào)性比較大小

解答：解：由①知f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；由②知f（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)；
由③知f（2+x）=f（2-x），其圖象的對稱軸為x=2，
∴f（4.5）=f（0.5），
f（7）=f（3）=f（2+1）=f（2-1）=f（1），
f（6.5）=f（2.5）=f（2+0.5）=f（2-0.5）=f（1.5），
∵0＜0.5＜1＜1.5＜2，且函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，
∴f（0.5）＜f（1）＜f（1.5），即f（4.5）＜f（7）＜f（6.5），
故選：B．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的周期性、函數(shù)的對稱性與函數(shù)的單調(diào)性，涉及到了函數(shù)的三個主要性質．