已知向量
a
=(
1
2
，
1
2
sinx+
3
2
cosx)與
b
=(1，y)共線，且有函數(shù)y=f（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的周期與最大值；
（Ⅱ）已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別是A、B、C，若有f(A-
π
3
)=
3
，邊BC=
7
，sinB=
21
7
，求AC的長(zhǎng)．
分析：由兩向量共線，得到兩向量平行，利用兩向量的坐標(biāo)列出關(guān)系式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式整理得到f（x）的解析式，
（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；由正弦函數(shù)的值域即可求出函數(shù)的最大值；
（Ⅱ）由f（A-
π
3
）=
3
，根據(jù)f（x）的解析式，得到sinA的值，再由sinB及BC的值，利用正弦定理即可求出AC的長(zhǎng)．
解答：解：∵向量
a
=(
1
2
，
1
2
sinx+
3
2
cosx)與
b
=(1，y)共線，
∴
a
∥
b
，即
1
2
y-（
1
2
sinx+
3
2
cosx）=0，
∴y=f（x）=2sin（x+
π
3
），
（Ⅰ）∵ω=1，∴T=
2π
1
，
∵-2≤2sin（x+
π
3
）≤2，
則f（x）的周期為2π，函數(shù)的最大值為2；
（Ⅱ）由f（A-
π
3
）=
3
，得2sin（A-
π
3
+
π
3
）=
3
，即sinA=
3
2
，
∵BC=
7
，sinB=
21
7
，
∴由正弦定理
BC
sinA
=
AC
sinB
得：AC=
BCsinB
sinA
=
7
×
21
7
3
2
=2．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，平面向量數(shù)量積運(yùn)算法則，正弦函數(shù)的定義域與值域，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(
1
2
，
3
2
)，
b
=（1，0），則|
a
+
b
|=
 
；則向量
a
與向量
a
-
b
的夾角為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(
1
2
，k)，
b
=(k-1，4)，若
a
∥
b
，則實(shí)數(shù)k的值為（　　）
A、-1或2
B、
1
9
C、-
1
7
D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•許昌三模）已知向量
a
=(
1
2
，
1
2
sinx+
3
2
cosx)與 
b
=(1，y)共線，設(shè)函數(shù)y=f（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的周期及最大值；
（2）已知銳角△ABC中的三個(gè)內(nèi)角分別為A、B、C，若有f(A-
π
3
)=
3
，邊BC=
7
，sinB=
21
7
，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(
1
2
，
3
2
)，向量
b
=(-1，0)，向量
c
滿足
a
+
b
+
c
=
0
．
（1）求證：(
a
-
b
)⊥
c
；（2）若
a
-k
b
與2
b
+
c
共線，求實(shí)數(shù)k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•汕頭二模）已知向量 
a
=(
1
2，
3
2
)，
b
=（cosx，sinx）；
（1）若
a
⊥
b
，求tan(x-
π
4
)的值；
（2）若函數(shù)f（x）=
a
•
b
，求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．

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