Question

已知a₁=1，a_n+1+a_n=n，求a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題可以先根據(jù)題中所給的遞推關(guān)系，構(gòu)了造一個(gè)新的等比數(shù)列，得到新數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)，從而求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式，即本題結(jié)論．

解答： 解：∵a_n+1+a_n=n，
∴an+1-

1

2

(n+1)+

1

4

=-(an-

1

2

n+

1

4

)．
∵a₁=1，
∴a1-

1

2

×1+

1

4

=

3

4

．
∴數(shù)列{an+1-

1

2

(n+1)+

1

4

}是以

3

4

為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列．
∴an-

1

2

n+

1

4

=

3

4

×(-1)n-1，
∴an=

1

2

n+

1

4

+

3

4

×(-1)n-1，n∈N^*．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是用構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)，考查了化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，本題難度適中，屬于中檔題．