【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知中心在原點,焦點在x軸上的雙曲線C的離心率為 ,且雙曲線C與斜率為2的直線l有一個公共點P(﹣2,0).
(1)求雙曲線C的方程及它的漸近線方程;
(2)求以直線l與坐標(biāo)軸的交點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】
(1)解:由題意,設(shè)雙曲線的方程為 =1(a,b>0).

∵點P(﹣2,0)在雙曲線上,∴a=2.

∵雙曲線C的離心率為 ,∴c=2

∵c2=a2+b2,∴b=2.

∴雙曲線的方程為: =1,

其漸近線方程為:y=±x


(2)解:由題意,直線l的方程為y=2(x+2),即y=2x+4,

直線l與坐標(biāo)軸交點分別為F1(﹣2,0),F(xiàn)2(0,4).

∴以F1(﹣2,0)為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=﹣8x;

以F2(0,4)為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=16y


【解析】(1)由題意,設(shè)雙曲線的方程為 =1(a,b>0).由點P(﹣2,0)在雙曲線上,可得a=2.利用 = ,可得c.利用c2=a2+b2 , 可得b.即可得出方程及其漸近線方程.(2)由題意,直線l的方程為y=2(x+2),可得直線l與坐標(biāo)軸交點分別為F1(﹣2,0),F(xiàn)2(0,4).即可得出相應(yīng)的拋物線方程.

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