Question

19．已知函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=a-x（$\frac{1}{e}$≤x≤e）的圖象上恰好存在唯一一個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． [1，e-1]
• B． {1}∪（$\frac{1}{e}$+1，e-1]
• C． [1，$\frac{1}{e}$+1]
• D． （$\frac{1}{e}$+1，e-1]

Answer 1

分析 根據(jù)題意便可知道方程lnx=x-a在$[\frac{1}{e}，e]$上有唯一的解，進(jìn)而可看成y=lnx與y=x-a在$[\frac{1}{e}，e]$上存在唯一的公共點(diǎn)，并可畫(huà)出圖象，容易求出兩函數(shù)圖象相切時(shí)，a=1，并可求出當(dāng)直線y=x-a過(guò)$A（\frac{1}{e}，-1）$，B（e，1）時(shí)a的值，這樣便可結(jié)合圖象求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：據(jù)題意，兩個(gè)函數(shù)圖象上恰好存在唯一一個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，
即點(diǎn)（x，y）與（x，-y）分別在兩個(gè)函數(shù)圖象上，且唯一；
又$\frac{1}{e}≤x≤e$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{y=f（x）=lnx}\\{y=-g（x）=x-a}\end{array}\right.$，即方程，lnx=x-a在$[\frac{1}{e}，e]$上有唯一一解；
∴可化歸為y=lnx的圖象和直線y=x-a當(dāng)$x∈[\frac{1}{e}，e]$時(shí)有唯一的公共點(diǎn)；
如圖，

①當(dāng)兩函數(shù)圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)（x₀，y₀），$y′=（lnx）′=\frac{1}{x}$；
∴$y′{|}_{x={x}_{0}}=\frac{1}{{x}_{0}}=1$，x₀=1；
∴切點(diǎn)為（1，0），帶入直線方程得a=1；
②當(dāng)直線y=x-a過(guò)點(diǎn)$A（\frac{1}{e}，-1）$時(shí)，a=$\frac{1}{e}+1$，當(dāng)直線y=x-a過(guò)點(diǎn)B（e，1）時(shí)，a=e-1，
結(jié)合圖象可知恰好存在唯一一個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則：a=1或$\frac{1}{e}+1＜a≤e-1$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，以及方程的解和對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)在圖象上一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值和過(guò)該點(diǎn)切線斜率的關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的方法．