Question

19．已知函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=a-x（$\frac{1}{e}$≤x≤e）的圖象上恰好存在唯一一個關(guān)于x軸對稱的點，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [1，e-1]
• B． {1}∪（$\frac{1}{e}$+1，e-1]
• C． [1，$\frac{1}{e}$+1]
• D． （$\frac{1}{e}$+1，e-1]

Answer 1

分析 根據(jù)題意便可知道方程lnx=x-a在$[\frac{1}{e}，e]$上有唯一的解，進而可看成y=lnx與y=x-a在$[\frac{1}{e}，e]$上存在唯一的公共點，并可畫出圖象，容易求出兩函數(shù)圖象相切時，a=1，并可求出當(dāng)直線y=x-a過$A（\frac{1}{e}，-1）$，B（e，1）時a的值，這樣便可結(jié)合圖象求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：據(jù)題意，兩個函數(shù)圖象上恰好存在唯一一個關(guān)于x軸對稱的點，
即點（x，y）與（x，-y）分別在兩個函數(shù)圖象上，且唯一；
又$\frac{1}{e}≤x≤e$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{y=f（x）=lnx}\\{y=-g（x）=x-a}\end{array}\right.$，即方程，lnx=x-a在$[\frac{1}{e}，e]$上有唯一一解；
∴可化歸為y=lnx的圖象和直線y=x-a當(dāng)$x∈[\frac{1}{e}，e]$時有唯一的公共點；
如圖，

①當(dāng)兩函數(shù)圖象相切時，設(shè)切點（x₀，y₀），$y′=（lnx）′=\frac{1}{x}$；
∴$y′{|}_{x={x}_{0}}=\frac{1}{{x}_{0}}=1$，x₀=1；
∴切點為（1，0），帶入直線方程得a=1；
②當(dāng)直線y=x-a過點$A（\frac{1}{e}，-1）$時，a=$\frac{1}{e}+1$，當(dāng)直線y=x-a過點B（e，1）時，a=e-1，
結(jié)合圖象可知恰好存在唯一一個關(guān)于x軸對稱的點，則：a=1或$\frac{1}{e}+1＜a≤e-1$．
故選B．

點評 考查關(guān)于x軸對稱的點的坐標關(guān)系，以及方程的解和對應(yīng)函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)在圖象上一點的導(dǎo)數(shù)值和過該點切線斜率的關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合解決問題的方法．