對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定義：設(shè)f′′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若f′′（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．現(xiàn)已知f（x）=x3-3x2+2x-2，請解答下列問題：
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的“拐點”A的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求證f（x）的圖象關(guān)于“拐點”A 對稱；并寫出對于任意的三次函數(shù)都成立的有關(guān)“拐點”的一個結(jié)論（此結(jié)論不要求證明）；
（Ⅲ）若另一個三次函數(shù)G（x）的“拐點”為B（0，1），且一次項系數(shù)為0，當(dāng)x1＞0，x2＞0（x1≠x2）時，試比較
G(x1)+G(x2)
2
與G(
x1+x2
2
)的大�。�
分析：（1）先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐點的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求拐點的坐標(biāo)．
解答：解：（1）f′（x）=3x2-6x+2…（1分）f″（x）=6x-6令f″（x）=6x-6=0得x=1…（2分）f（1）=13-3+2-2=-2∴拐點A（1，-2）…（3分）
（2）設(shè)P（x0，y0）是y=f（x）圖象上任意一點，則y0=x03-3x02+2x0-2，因為P（x0，y0）關(guān)于A（1，-2）的對稱點為P'（2-x0，-4-y0），
把P'代入y=f（x）得左邊=-4-y0=-x03+3x02-2x0-2
右邊=（2-x0）3-3（2-x0）2+2（2-x0）-2=-x03+3x02-2x0-2∴右邊=右邊∴P′（2-x0，-4-y0）在y=f（x）圖象上∴y=f（x）關(guān)于A對稱        …（7分）
結(jié)論：①任何三次函數(shù)的拐點，都是它的對稱中心
②任何三次函數(shù)都有“拐點”
③任何三次函數(shù)都有“對稱中心”（寫出其中之一）…（9分）
（3）設(shè)G（x）=ax3+bx2+d，則G（0）=d=1…（10分）∴G（x）=ax3+bx2+1，G'（x）=3ax2+2bx，G''（x）=6ax+2bG''（0）=2b=0，b=0，∴G（x）=ax3+1=0…（11分）
法一：
G(x1)+G(x2)
2
-G(
x1+x2
2
)=
a
2
x
3
1
+
a
2
x
3
2
-a(
x1+x2
2
)3=a[
1
2
x
3
1
+
1
2
x
3
2
-(
x1+x2
2
)3]=
a
2
[
x
3
1
+
x
3
2
-
x
3
1
+
x
3
2
+3
x
2
1
x2+3x1
x
2
2
4
]=
a
8
(3
x
3
1
+3
x
3
2
-3
x
2
1
x2-3x1
x
2
2
)=
a
8
[3
x
2
1
(x1-x2)-3
x
2
2
(x1-x2)]=
3a
8
(x1-x2)2(x1+x2)…（13分）
當(dāng)a＞0時，
G(x1)+G(x2)
2
＞G(
x1+x2
2
)
當(dāng)a＜0時，
G(x1)+G(x2)
2
＜G(
x1+x2
2
)…（14分）
法二：G′′（x）=3ax，當(dāng)a＞0時，且x＞0時，G′′（x）＞0，∴G（x）在（0，+∞）為凹函數(shù)，∴
G(x1)+G(x2)
2
＞G(
x1+x2
2
)…（13分）
當(dāng)a＜0時，G′′（x）＜0，∴G（x）在（0，+∞）為凸函數(shù)∴
G(x1)+G(x2)
2
＜G(
x1+x2
2
)…（14分）
點評：本題考查一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)的拐點的定義以及函數(shù)圖象關(guān)于某點對稱的條件．屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
定義：（1）設(shè)f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”；
定義：（2）設(shè)x0為常數(shù)，若定義在R上的函數(shù)y=f（x）對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（x0，f（x0））對稱．
己知f（x）=x3-3x2+2x+2，請回答下列問題：
（1）求函數(shù)f（x）的“拐點”A的坐標(biāo)
 
；
（2）檢驗函數(shù)f（x）的圖象是否關(guān)于“拐點”A對稱，對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關(guān)“拐點”的結(jié)論
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•昌平區(qū)二模）對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是函數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x0，則稱（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．給定函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
，請你根據(jù)上面探究結(jié)果，解答以下問題
（1）函數(shù)f（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
的對稱中心為
（
1
2
，1）
（
1
2
，1）
；
（2）計算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f（
2012
2013
）=
2012
2012
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•房山區(qū)二模）對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且拐點就是對稱中心．若f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+
1
6
x+1，則該函數(shù)的對稱中心為
(
1
2
，1)
(
1
2
，1)
，計算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)=
2012
2012
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定義：設(shè)f''（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f''（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數(shù)都有‘拐點’；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心”，且‘拐點’就是對稱中心．請你將這一發(fā)現(xiàn)作為條件．
（1）．函數(shù)f（x）=x3-3x2+3x的對稱中心為
（1，2）
（1，2）
．
（2）．若函數(shù)g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
，則g(
1
2013
)+g(
2
2013
)+g(
3
2013
)+…+g(
2012
2013
)=
2012
2012
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•安慶三模）對于三次函數(shù)f（x）-ax3+bx2+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)ft（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，ftt（x）是函數(shù)ft的導(dǎo)數(shù)，若方程ftt（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個一元三次函數(shù)都有“拐點”；且該“拐點”也為該函數(shù)的對稱中心．若f（x）=x3-
3
2
x2+
1
2
x+1，則f（
1
2014
）+f（
2
2014
）+…+f（
2013
2014
）=（　�。�

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