Question

在四面體ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，且E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，求證：
（1）直線EF∥面ACD；
（2）BD⊥面EFC．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中E，F(xiàn)分別為AB，BD的中點(diǎn)，由三角形中位線定理可得EF∥AD，再由線面平行的判定定理，即可得到直線EF∥面ACD；
（2）由AD⊥BD結(jié)合（1）的結(jié)論可得EF⊥BD，再由CB=CD，結(jié)合等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，得到CF⊥BD，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得到BD⊥面EFC．

解答：證明：（1）E，F(xiàn)分別為AB，BD的中點(diǎn)?EF∥AD（3分）
?

EF∥AD AD?面ACD EF?面ACD

?EF∥面ACD．（7分）
（2）

EF∥AD AD⊥BD ?EF⊥BD CD=CB F為BD的中點(diǎn) ?CF⊥BD EF∩CF=F

?BD⊥面EFC（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中熟練掌握空間線面平行及線面垂直的判定定理及證明步驟是解答本題的關(guān)鍵．