Question

9．平潭國際“花式風(fēng)箏沖浪”集訓(xùn)隊(duì)，在平潭龍鳳頭海濱浴場進(jìn)行集訓(xùn)，海濱區(qū)域的某個(gè)觀測點(diǎn)觀測到該處水深y（米）是隨著一天的時(shí)間t（0≤t≤24，單位小時(shí)）呈周期性變化，某天各時(shí)刻t的水深數(shù)據(jù)的近似值如表：

t（時(shí)）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	1.5	2.4	1.5	0.6	1.4	2.4	1.6	0.6	1.5

（Ⅰ）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖（坐標(biāo)系在答題卷中）．觀察散點(diǎn)圖，從①y=Asin（ωt+ϕ），②y=Acos（ωt+ϕ）+b，③y=-Asinωt+b（A＞0，ω＞0，-π＜ϕ＜0）．中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）為保證隊(duì)員安全，規(guī)定在一天中的5～18時(shí)且水深不低于1.05米的時(shí)候進(jìn)行訓(xùn)練，根據(jù)（Ⅰ）中的選擇的函數(shù)解析式，試問：這一天可以安排什么時(shí)間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，選②y=Acos（ωt+ϕ）+b做為函數(shù)模型，由此利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)能求出該擬合模型的函數(shù)解析式．
（Ⅱ）由$y=0.9sin（\frac{π}{6}t）+1.5$，令y≥1.05，得$sin（\frac{π}{6}t）≥-\frac{1}{2}$，從而12k-1≤t≤12k+7，由此能求出這一天可以安排早上5點(diǎn)至7點(diǎn)以及11點(diǎn)至18點(diǎn)的時(shí)間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全．

解答 （滿分12分）
解：（Ⅰ）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如圖所示：

依題意，選②y=Acos（ωt+ϕ）+b做為函數(shù)模型，
∴$A=\frac{2.4-0.6}{2}=0.9b=\frac{2.4+0.6}{2}=1.5$，
∵$T=\frac{2π}{ω}=12∴ω=\frac{π}{6}$∴$y=0.9cos（\frac{π}{6}t+φ）+1.5$-------------------------------------------------------------（5分）
又∵函數(shù)y=0.9cos（$\frac{π}{6}t+$φ）+1.5的圖象過點(diǎn)（3，2.4），
∴2.4=0.9×cos（$\frac{π}{6}×3$+φ）+1.5，
∴cos（$\frac{π}{2}$+φ）=1，∴sinφ=-1，
又∵-π＜φ＜0，∴φ=-$\frac{π}{2}$，
∴$y=0.9cos（\frac{π}{6}t-\frac{π}{2}）+1.5=0.9sin（\frac{π}{6}t）+1.5$------------------------------------（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$y=0.9sin（\frac{π}{6}t）+1.5$
令y≥1.05，即$0.9sin（\frac{π}{6}t）+1.5≥1.05$∴$sin（\frac{π}{6}t）≥-\frac{1}{2}$--------------------------------------------------------------------------------（9分）
∴$2kπ-\frac{π}{6}≤\frac{π}{6}t≤2kπ+\frac{7π}{6}（k∈Z）$，
∴12k-1≤t≤12k+7
又∵5≤t≤18∵5≤t≤7或11≤t≤18-----------------------------------------------------------------------（11分）
∴這一天可以安排早上5點(diǎn)至7點(diǎn)以及11點(diǎn)至18點(diǎn)的時(shí)間段組織訓(xùn)練，
才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全．-----------------------------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)解析式的求法，考查確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全的訓(xùn)練時(shí)間的確定，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．