已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=
3
5
，an+1=
3an
2an+1
，n=1，2，…．
（Ⅰ）設(shè)bn=
1
an
-1，求證：{bn}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有an≥2x-x2-
2x2
3n
，n=1，2，…成立．
分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列遞推式an+1=
3an
2an+1
，取倒數(shù)，化簡(jiǎn)可得{bn}是以
2
3
為首項(xiàng)，
1
3
為公比的等比數(shù)列，從而可得{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ），利用作差與0比較，即可證得結(jié)論．
解答：證明：（Ⅰ）∵an+1=
3an
2an+1
，
∴
1
an+1
=
2
3
+
1
3an
，
∴
1
an+1
-1=
1
3
(
1
an
-1)，即bn+1=
1
3
bn…（2分）
又b1=
1
a1
-1=
2
3
，∴{bn}是以
2
3
為首項(xiàng)，
1
3
為公比的等比數(shù)列…（4分）
∴
1
an
-1=
2
3
•
1
3n-1
=
2
3n
，
∴an=
3n
3n+2
…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=
3n
3n+2
＞0，
1
an
=1+
2
3n
，
∵2x-
2x2
3n
-x2-an=2x-x2(
2
3n
+1)-an=2x-
x2
an
-an=-(
an
-
x
an
)2≤0
∴原不等式成立．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式的證明，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=
1
2
，前n項(xiàng)和Sn=n2an（n≥1）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b1=0，bn=
Sn-1
Sn
(n≥2)，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求證：Tn＜
n2
n+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=2，前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的n∈N*，當(dāng)n≥2，時(shí)，an總是3Sn-4與2-
52
Sn-1的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=（n+1）an，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，n∈N*，求Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•江門(mén)一模）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，若?n∈N*，an•an+1=-2，則an=
1，n是正奇數(shù)
-2，n是正偶數(shù)
1，n是正奇數(shù)
-2，n是正偶數(shù)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=3，通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和sn之間滿(mǎn)足2an=Sn•Sn-1（n≥2）．
（1）求證：數(shù)列{
1Sn
}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=
2
3
，an+1=
2an
an+1
，n∈N+
（Ⅰ）設(shè)bn=
1
an
-1證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）數(shù)列{
n
bn
}的前n項(xiàng)和Sn．

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