Question

已知數列{a_n}的首項a1=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，n=1，2，…．
（Ⅰ）設bn=

1

an

-1，求證：{b_n}是等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：對任意實數x，都有an≥2x-x2-

2x2

3n

，n=1，2，…成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據數列遞推式an+1=

3an

2an+1

，取倒數，化簡可得{b_n}是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數列，從而可得{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ），利用作差與0比較，即可證得結論．

解答：證明：（Ⅰ）∵an+1=

3an

2an+1

，
∴

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，
∴

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，即bn+1=

1

3

bn…（2分）
又b1=

1

a1

-1=

2

3

，∴{b_n}是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數列…（4分）
∴

1

an

-1=

2

3

•

1

3n-1

=

2

3n

，
∴an=

3n

3n+2

…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=

3n

3n+2

＞0，

1

an

=1+

2

3n

，
∵2x-

2x2

3n

-x2-an=2x-x2(

2

3n

+1)-an=2x-

x2

an

-an=-(

an

-

x

an

)2≤0
∴原不等式成立．…（12分）

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查數列的通項，考查不等式的證明，確定數列的通項是關鍵．